В математической физике , то Белинфанте - Rosenfeld тензор является модификацией тензора энергии-импульса, построенного из тензора канонической энергии-импульса и спинового тока так, чтобы быть симметричными пока еще сохраняется.
В классической или квантовой теории локального поля генератор преобразований Лоренца можно записать в виде интеграла
местного течения
Здесь - канонический тензор энергии-импульса Нётер , а- вклад собственного (спинового) углового момента . Локальное сохранение углового момента
требует, чтобы
Таким образом, источник спинового тока подразумевает несимметричный канонический тензор энергии-импульса.
Тензор Белинфанте – Розенфельда [1] [2] представляет собой модификацию тензора энергии-импульса
который построен из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока так, чтобы быть симметричным, но все же сохраняться.
Интеграция по частям показывает, что
Таким образом, физическая интерпретация тензора Белинфанте состоит в том, что он включает в себя «связанный импульс», связанный с градиентами собственного углового момента. Другими словами, добавляемый член является аналогом« связанный ток », связанный с плотностью намагничивания.
Любопытная комбинация компонентов спинового тока, необходимая для создания симметричный, но все еще сохраняющийся, кажется полностью специальным , но и Розенфельд, и Белинфанте показали, что модифицированный тензор - это в точности симметричный гильбертовский тензор энергии-импульса, который действует как источник гравитации в общей теории относительности . Точно так же, как сумма связанного и свободного токов действует как источник магнитного поля, это сумма связанной и свободной энергии-импульса действует как источник гравитации.
Тензор энергии-импульса Гильберта определяется вариацией функционала действия относительно метрики как
или эквивалентно как
(Знак минус во втором уравнении возникает потому, что так как )
Мы также можем определить тензор энергии-импульса путем варьирования ортонормированного вербейна Минковского получить
Здесь - метрика Минковского для ортонормированного репера Вербейна, а ковекторы двойственные вербейнам.
С вариацией vierbein нет очевидной причины для быть симметричным. Однако функционал действия должен быть инвариантным относительно бесконечно малого локального преобразования Лоренца , , и другие
должно быть равно нулю. В виде является произвольной кососимметричной матрицей, зависящей от положения, мы видим, что локальная инвариантность к лоренцеву и вращению требует и означает, что .
Как только мы узнаем, что симметричен, легко показать, что , поэтому тензор энергии-импульса вариации Вирбейна эквивалентен тензору Гильберта вариации метрики.
Теперь мы можем понять происхождение модификации Белинфанте – Розфельда канонического тензора энергии-импульса Нётер. Примите меры, чтобы быть где это спиновая связь, которая определяетсячерез условие метрической совместимости и отсутствия кручения. Спиновый ток тогда определяется вариацией
вертикальная черта, обозначающая, что фиксируются во время изменения. «Канонический» тензор энергии-импульса Нётер это часть, которая возникает из варианта, в котором мы фиксируем спиновое соединение:
потом
Теперь для связности без кручения и с метрической совместимостью мы имеем
где мы используем обозначения
Используя вариант спиновой связи и после интегрирования по частям, находим
Таким образом, мы видим, что поправки к каноническому тензору Нётер, которые появляются в тензоре Белинфанте – Розенфельда, происходят потому, что нам нужно одновременно изменять вербейн и спиновую связь, если мы хотим сохранить локальную лоренц-инвариантность.
В качестве примера рассмотрим классический лагранжиан для поля Дирака
Здесь спинорные ковариантные производные равны
Таким образом, мы получаем
Нет вклада от если мы используем уравнения движения, т.е. мы находимся на оболочке.
Сейчас
если различны и равны нулю в противном случае. Как следствиеполностью антисимметричен. Теперь, используя этот результат и снова уравнения движения, находим, что
Таким образом, тензор Белинфанте – Розенфельда принимает вид
Таким образом, тензор Белинфанте – Розенфельда для поля Дирака является симметризованным каноническим тензором энергии-импульса.
Вайнберг определяет тензор Белинфанте как [3]
где - плотность лагранжиана , множество {Ψ} - поля, входящие в лагранжиан, тензор энергии и импульса небелинфанте определяется выражением
а также представляют собой набор матриц, удовлетворяющих алгебре однородной группы Лоренца [4]
- .