В математике , то серия Bell является формальный степенной ряд используется для изучения свойств арифметических функций. Серия Bell была представлена и разработана Эриком Темпл Беллом .
Для данной арифметической функции и простого числа определите формальный степенной ряд , называемый рядом Белла по модулю, как: ж {\ displaystyle f} п {\ displaystyle p} ж п ( Икс ) {\displaystyle f_{p}(x)} f {\displaystyle f} p {\displaystyle p}
f p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( p n ) x n . {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.} Можно показать, что две мультипликативные функции идентичны, если все их ряды Белла равны; это иногда называют теоремой единственности : при заданных мультипликативных функциях и имеется тогда и только тогда, когда : f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} f = g {\displaystyle f=g}
f p ( x ) = g p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)} p {\displaystyle p} Две серии могут быть умножены (иногда называемая теоремой умножения ): Для любых двух арифметических функций и пусть будет их свертка Дирихле . Тогда для каждого простого числа есть: f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} h = f ∗ g {\displaystyle h=f*g} p {\displaystyle p}
h p ( x ) = f p ( x ) g p ( x ) . {\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,} В частности, это делает тривиальным поиск ряда Белла обратного Дирихле .
Если это вполне мультипликативная , то формально: f {\displaystyle f}
f p ( x ) = 1 1 − f ( p ) x . {\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.} Ниже приводится таблица из серии хорошо известных арифметических функций Белла.
Функция Мёбиуса имеет μ {\displaystyle \mu } μ p ( x ) = 1 − x . {\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.} Функция Мёбиуса квадратом имеет μ p 2 ( x ) = 1 + x . {\displaystyle \mu _{p}^{2}(x)=1+x.} Тотентиент Эйлера имеет φ {\displaystyle \varphi } φ p ( x ) = 1 − x 1 − p x . {\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.} Мультипликативное тождество свертки Дирихле имеет δ {\displaystyle \delta } δ p ( x ) = 1. {\displaystyle \delta _{p}(x)=1.} Функция Лиувилля имеет λ {\displaystyle \lambda } λ p ( x ) = 1 1 + x . {\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.} Степенная функция Id k k ( Id k ) p ( x ) = 1 1 − p k x . {\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.} Id k ( n ) = n k {\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}} Функция делителя имеет σ k {\displaystyle \sigma _{k}} ( σ k ) p ( x ) = 1 ( 1 − p k x ) ( 1 − x ) . {\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}.} В функции блок удовлетворяет , то есть, является геометрической прогрессией . 1 p ( x ) = ( 1 − x ) − 1 {\displaystyle 1_{p}(x)=(1-x)^{-1}} Если - степень простой омега-функции , то f ( n ) = 2 ω ( n ) = ∑ d | n μ 2 ( d ) {\displaystyle f(n)=2^{\omega (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)} f p ( x ) = 1 + x 1 − x . {\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}.} Предположим, что f мультипликативна, а g - любая арифметическая функция, удовлетворяющая для всех простых чисел p и . потом f ( p n + 1 ) = f ( p ) f ( p n ) − g ( p ) f ( p n − 1 ) {\displaystyle f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} f p ( x ) = ( 1 − f ( p ) x + g ( p ) x 2 ) − 1 . {\displaystyle f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}.} Если обозначает функцию Мебиуса порядка k , то μ k ( n ) = ∑ d k | n μ k − 1 ( n d k ) μ k − 1 ( n d ) {\displaystyle \mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)} ( μ k ) p ( x ) = 1 − 2 x k + x k + 1 1 − x . {\displaystyle (\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}.} 
