Бикогерентность

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и статистический анализе , bicoherence (также известный как биспектральная когерентность ) квадрат нормированной версия биспектра . Бикогерентность принимает значения, ограниченные от 0 до 1, что делает ее удобной мерой для количественной оценки степени фазовой связи в сигнале. Префикс bi- in bipectrum и bicoherence относится не к двум временным рядам x _t , y _t, а скорее к двум частотам одного сигнала.

Биспектр - это статистика, используемая для поиска нелинейных взаимодействий. Преобразование Фурье кумулянта второго порядка , т. Е. Автокорреляционная функция, представляет собой традиционный спектр мощности . Преобразование Фурье C ₃ (t ₁ , t _{2 ) (} кумулянт третьего порядка ) называется биспектром или биспектральной плотностью . Они попадают в категорию спектров более высокого порядка или полиспектров и предоставляют дополнительную информацию к спектру мощности. Полиспектр третьего порядка (биспектр) является самым простым для вычисления и, следовательно, наиболее популярным.

Разница в измерении когерентности(анализ когерентности - это широко используемый метод для изучения корреляций в частотной области между двумя одновременно измеряемыми сигналами) - это необходимость как для входных, так и для выходных измерений путем оценки двух автоспектров и одного перекрестного спектра. С другой стороны, бикогерентность - это автоматическая величина, то есть ее можно вычислить из одного сигнала. Функция когерентности обеспечивает количественную оценку отклонений от линейности в системе, которая находится между входными и выходными измерительными датчиками. Бикогерентность измеряет долю энергии сигнала на любой двухчастотной частоте, которая квадратично связана по фазе. Обычно он нормируется в диапазоне, аналогичном коэффициенту корреляции и классической (второго порядка) когерентности. Он также использовался для оценки глубины анастезии и широко в физике плазмы.(нелинейная передача энергии), а также для обнаружения гравитационных волн .

Биспектр и бикогерентность могут применяться к случаю нелинейных взаимодействий непрерывного спектра распространяющихся волн в одном измерении. ^[1]

Измерения бикогерентности проводились для мониторинга сигналов ЭЭГ во сне , бодрствовании и судорогах . ^{[ необходима цитата ]}

Определение

Биспектр определяется как тройное произведение

${\ Displaystyle B (f_ {1}, f_ {2}) = F (f_ {1}) F (f_ {2}) F ^ {*} (f_ {1} + f_ {2})}$

где - биспектр, вычисленный на частотах , и - преобразование Фурье сигнала, а - комплексное сопряжение. Преобразование Фурье - это комплексная величина, как и биспектр. При комплексном умножении величина биспектра равна произведению величин каждой из частотных составляющих, а фаза биспектра представляет собой сумму фаз каждой из частотных составляющих.${\displaystyle B}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle ^{*}}$

Предположим, что три компоненты Фурье и${\displaystyle F(f_{1})}$${\displaystyle F(f_{2})}$${\displaystyle F(f_{1}+f_{2})}$были идеально синхронизированы по фазе. Тогда, если преобразование Фурье вычислялось несколько раз из разных частей временного ряда, биспектр всегда будет иметь одно и то же значение. Если мы сложим все биспектры, они будут суммированы без отмены. С другой стороны, предположим, что фазы каждой из этих частот были случайными. Тогда биспектр будет иметь ту же величину (при условии, что величина частотных составляющих одинакова), но фаза будет ориентирована случайным образом. Сложение всех биспектров приведет к аннулированию из-за случайной фазовой ориентации, и поэтому сумма биспектров будет иметь небольшую величину. Обнаружение фазовой связи требует суммирования по ряду независимых выборок - это первая мотивация для определения бикогерентности. Во-вторых, биспектр не нормализуется,потому что это все еще зависит от величин каждой из частотных составляющих. Бикогерентность включает нормировочный коэффициент, который устраняет зависимость от величины.

Есть некоторая несогласованность с определением константы нормализации бикогерентности. Некоторые из использованных определений:

${\displaystyle b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sqrt {\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})|^{2}|F_{n}(f_{2})|^{2}|F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}}}}}$

который был предоставлен в Sigl and Chamoun 1994, но, похоже, неправильно нормализован. В качестве альтернативы физика плазмы обычно использует

${\displaystyle b^{2}(f_{1},f_{2})={\frac {|\langle F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\rangle |^{2}}{\langle |F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})|^{2}\rangle \langle |F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}\rangle }}}$

где угловые скобки означают усреднение. Обратите внимание, что это то же самое, что и использование суммы, потому что числитель и знаменатель совпадают. Это определение взято непосредственно из Нагашимы 2006, а также упоминается в He 2009 и Maccarone 2005.${\displaystyle n}$

Наконец, одно из наиболее интуитивных определений взято из Hagihira 2001 и Hayashi 2007, т.е.

${\displaystyle b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|}}}$

В числителе указывается величина биспектра, просуммированная по всем сегментам временного ряда. Эта величина велика при наличии связи фаз и приближается к 0 в пределе случайных фаз. Знаменатель, который нормализует биспектр, дается путем вычисления биспектра после установки всех фаз на 0. Это соответствует случаю, когда существует идеальная фазовая связь, потому что все образцы имеют нулевую фазу. Следовательно, бикогерентность имеет значение от 0 (случайные фазы) до 1 (общая фазовая связь).

Смотрите также

• Когерентность (обработка сигналов)

использованная литература

• Хагихира, С., Такашина, М., Мори, Т., Машимо, Т., и Йошия, И. (2001). Практические вопросы биспектрального анализа электроэнцефалографических сигналов. Анестезия и обезболивание, 93 (4), 966-970. Получено с http://www.anesthesia-analgesia.org/content/93/4/966.abstract.
• Хаяси, К., Цуда, Н., Сава, Т., и Хагихира, С. (2007). Кетамин увеличивает частоту пика электроэнцефалографической бикогерентности в области альфа-веретена, индуцированного пропофолом. Британский журнал анестезии, 99 (3), 389-95. DOI: 10.1093 / bja / aem175
• Нагашима, Ю., Ито, К., Ито, С.-И., Хосино, К., Фудзисава, А., Эджири, А., Такасе, Ю., и др. (2006). Наблюдение когерентной бикогерентности и двухфазности в потенциальных колебаниях около частоты геодезической акустической моды на JFT-2M. Физика плазмы и управляемый синтез, 48 (5A), A377-A386. DOI: 10.1088 / 0741-3335 / 48 / 5A / S38
• Он, Х. (2009). Каноническая бикогерентность - ???? Часть I. Определение, оценка для нескольких страниц и статистика. Обработка сигналов, транзакции IEEE, 57 (4), 1273-1284. Получено с http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4749274.
• Maccarone, TJ, & Schnittman, JD (2004). Бикогерентность как диагностика моделей высокочастотных квазипериодических колебаний. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 357 (1), 12-16. DOI: 10.1111 / j.1365-2966.2004.08615.x
• Mendel JM. «Учебное пособие по статистике высшего порядка (спектрам) в обработке сигналов и теории систем: теоретические результаты и некоторые приложения». Труды IEEE , 79 , 3, 278-305
• MJ Hinich, "Проверка гауссовости и линейности стационарных временных рядов", Журнал анализа временных рядов 3 (3), 1982, стр. 169–176.
• HOSA - Набор инструментов для спектрального анализа высшего порядка . (условно-бесплатная для персональных компьютеров типа Microsoft Windows.)
• Зигл, Дж. К. и Н. Г. Чамун. 1994. Введение в биспектральный анализ электроэнцефалограммы. Журнал клинического мониторинга 10: 392-404.
• TH Bullock, JZ Achimowicz et al. , "Бикогерентность внутричерепной ЭЭГ при бодрствовании, сне и судорогах", Журнал клинической нейрофизиологии и ЭЭГ, 1997, том 231, стр. 130–142.
• JL Shils, M. Litt, BE Skolnick, MM Stecker, "Биспектральный анализ визуальных взаимодействий у людей", Электроэнцефалография и клиническая нейрофизиология, 1996; 98: 113-125.