В математике , то бигармоническое уравнение является четвертого порядка частичного дифференциального уравнения , которое возникает в областях механики сплошных сред , в том числе линейной упругости теории и решения потоков Стокса . В частности, он используется при моделировании тонких конструкций, упруго реагирующих на внешние силы.
Он записывается как
или же
или же
где , который является четвертой степенью оператора дель и квадратом оператора Лапласа (или же ), известен как бигармонический оператор или билапласианский оператор . В декартовых координатах это можно записать как размеры как:
Поскольку формула здесь содержит сумму индексов, многие математики предпочитают обозначение над потому что первый проясняет, какой из индексов четырех операторов набла сокращается.
Например, в трехмерных декартовых координатах бигармоническое уравнение имеет вид
В качестве другого примера, в n -мерном вещественном координатном пространстве без начала координат,
где
что показывает, только для n = 3 и n = 5 , является решением бигармонического уравнения.
Решение бигармонического уравнения называется бигармонической функцией . Любая гармоническая функция является бигармонической, но обратное не всегда верно.
В двумерных полярных координатах бигармоническое уравнение имеет вид
которое может быть решено разделением переменных. Результат - решение Michell .
Общее решение двумерного случая:
где , а также являются гармоническими функциями иявляется гармонической конъюгат из.
Подобно тому, как гармонические функции от 2-х переменных тесно связаны со сложными аналитическими функциями , так же и бигармонические функции от 2-х переменных. Общий вид бигармонической функции от двух переменных также можно записать как
где а также являются аналитическими функциями .