Гармонический конъюгат

В математике говорят , что вещественная функция, определенная на связном открытом множестве , имеет сопряженную (функцию) тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции комплексной переменной, то есть сопряжены с if голоморфна на. Как первое следствие определения, они обе являются гармоническими вещественнозначными функциями на . Более того, сопряженное к, если оно существует, единственно с точностью до аддитивной константы. Кроме того, сопряжено с, если и только если сопряжено с .${\ Displaystyle и (х, у)}$${\ Displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle v (х, у)}$ ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle z: = x + iy \ in \ Omega.}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle f (z): = u (x, y) + iv (x, y)}$${\ displaystyle \ Omega.}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle u,}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle -u}$

Описание [ править ]

Эквивалентно, сопряжена с in тогда и только тогда, когда и удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, if - любая гармоническая функция на функции сопряжена с для, тогда уравнения Коши – Римана справедливы, а симметрия смешанных производных второго порядка, Таким образом, гармоническая функция допускает конъюгированную гармоническую функцию тогда и только тогда , когда голоморфная функция имеет примитив в в этом случае конъюгат , конечно,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ Omega.}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2},}$${\ displaystyle u_ {y}}$${\ displaystyle -u_ {x},}$${\ displaystyle \ Delta u = 0}$${\ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}.}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle g (z): = u_ {x} (x, y) -iu_ {y} (x, y)}$ ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle u}$${\displaystyle \mathrm {Im} f(x+iy).}$Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию всякий раз, когда ее область определения односвязна , и в любом случае она допускает сопряженную локально в любой точке ее области определения.

Существует оператор, переводящий гармоническую функцию u в односвязной области в ее гармоническое сопряжение v (например, положив v ( x ₀ ) = 0 на данный x ₀ , чтобы зафиксировать неопределенность сопряженного с точностью до констант). В приложениях это хорошо известно как (по сути) преобразование Гильберта ; это также основной пример математического анализа в связи с сингулярными интегральными операторами . Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Беклунда.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейное; более сложные преобразования представляют интерес для солитонов и интегрируемых систем.

Геометрически u и v связаны между собой как имеющие ортогональные траектории , удаленные от нулей основной голоморфной функции; контуры, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом . В этом отношении u + iv будет комплексным потенциалом , где u - потенциальная функция, а v - функция тока .

Примеры [ править ]

Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$

С

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$

и

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$

это удовлетворяет

${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$

( является оператором Лапласа ) и поэтому является гармоническим. Теперь предположим, что у нас есть такое, что выполняются уравнения Коши – Римана:${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle v(x,y)}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$

и

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$

Упрощение,

${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$

и

${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$

который при решении дает

${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$

Обратите внимание, что если бы функции, связанные с u и v, поменяли местами, функции не были бы гармонически сопряженными, поскольку знак минус в уравнениях Коши – Римана делает связь асимметричной.

Конформное отображение свойство аналитических функций (в точках , где производная не равна нулю) приводит к геометрическим свойством гармонических конъюгатов. Ясно, что гармоническое сопряжение x есть y , а линии постоянной x и постоянной y ортогональны. Конформность говорит, что контуры констант u ( x , y ) и v ( x , y ) также будут ортогональными там, где они пересекаются (вдали от нулей f ′ ( z )). Это означает, что vявляется частным решением проблемы ортогональных траекторий для семейства контуров, задаваемых u (не единственное решение, естественно, поскольку мы можем брать также функции от v ): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века, о нахождении кривые, которые пересекают данное семейство непересекающихся кривых под прямым углом .

Гармоническое сопряжение в геометрии [ править ]

Термин « гармоническое сопряжение» встречается дополнительно в математике , а точнее в проективной геометрии . Две точки A и B называются гармонически сопряженными друг другу относительно другой пары точек C, D, если поперечное отношение ( ABCD ) = –1.

Ссылки [ править ]

• Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэль В. (1996). Сложные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 61 . ISBN 0-07-912147-0. Если две заданные функции u и v являются гармоническими в области D и их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) во всей области D , то v называется гармоническим сопряженным с u .

Внешние ссылки [ править ]

• Коэффициент гармоник
• "Сопряженные гармонические функции" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]