Биекция, инъекция и сюръекция

	сюръективный	несюръективный
инъективный	биективный	только для инъекций
не- инъективный	только сюръективный	Генеральная

В математике , инъекция , сюръекция и биекции являются классами функций , отличающихся способом , в котором аргументы (входные выражения из области ) и изображения (выходные выражения из области значений ) связаны или отображенный на друг друг.

Функция отображает элементы из своего домена в элементы в его кодомене. Учитывая функцию : ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

Функция является инъективной или взаимно однозначной , если каждый элемент кодомена отображается не более чем одним элементом домена, или, что эквивалентно, если отдельные элементы домена отображаются на отдельные элементы в кодомене. Инъективная функция также называется инъекцией . ^[1]^[2] Условные обозначения:

{\ displaystyle \ forall x, x '\ in X, f (x) = f (x') \ подразумевает x = x ',}

или, что то же самое (с использованием логического транспонирования ),

{\ displaystyle \ forall x, x '\ in X, x \ neq x' \ подразумевает f (x) \ neq f (x ').}

^[3]^[4]^[5]

Функция является сюръективной или на , если каждый элемент codomain отображается по крайней мере одним элементом домена. То есть изображение и область значений функции равны. Сюръективная функция - это сюръекция . ^[1]^[2] Условные обозначения:

\forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ such that }}y=f(x).

^[3]^[4]^[5]

Функция является биективной ( взаимно однозначно и на , взаимно однозначное соответствие или обратимая ), если каждый элемент кодобласти отображается ровно на один элемент области. То есть функция одновременно инъективна и сюръективна. Биективная функция также называется биекцией . ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] То есть, объединяя определения инъективного и сюръективного,

\forall y\in Y,\exists !x\in X{\text{ such that }}y=f(x),

где означает « существует ровно один

x

».

\exists !x

В любом случае (для любой функции) выполняется следующее:

\forall x\in X,\exists !y\in Y{\text{ such that }}y=f(x).

Инъективная функция не обязательно должна быть сюръективной (не все элементы кодомена могут быть связаны с аргументами), а сюръективная функция не обязательно должна быть инъективной (некоторые изображения могут быть связаны с более чем одним аргументом). Четыре возможных комбинации инъективных и сюръективных признаков показаны на соседних диаграммах.

Инъекция [ править ]

Инъективная композиция: вторая функция не обязательно должна быть инъективной.

Функция является инъективной ( взаимно однозначной ), если каждый возможный элемент кодомена отображается не более чем одним аргументом. Точно так же функция является инъективной, если она отображает разные аргументы на разные изображения. Инъективная функция - это инъекция . ^[1]^[2] Формальное определение следующее.

Функция инъективна, если для всех , ^[3]^[4]^[5]

f\colon X\to Y

x,x'\in X

f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.

Ниже приведены некоторые факты, связанные с инъекциями:

Функция f : X → Y инъективна тогда и только тогда, когда X пусто или f обратима слева ; то есть, существует функция г : F ( X ) → X такие , что г о е = функция тождественно на X . Здесь f ( X ) - образ f .
Поскольку каждая функция сюръективна, когда ее область значений ограничена ее изображением , каждая инъекция индуцирует биекцию на ее образ. ^[1] Точнее, каждая инъекция f : X → Y может быть факторизована как биекция с последующим включением следующим образом. Пусть f _R : X → f ( X ) - это f с областью области, ограниченной его образом, и пусть i : f ( X ) → Y - отображение включения из f ( X ) в Y. Тогда е = я ò ф _R . Двойная факторизация дается для сюрпризов ниже.
Композиция из двух инъекций снова является инъекцией, но если g o f инъективен, то можно только сделать вывод, что f инъективен (см. Рисунок).
Каждое вложение инъективно.

Surjection [ править ]

Сюръективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной.

Функция сюръективна или на, если каждый элемент кодомена отображается как минимум одним элементом домена . Другими словами, каждый элемент кодомена имеет непустой прообраз . Эквивалентно, функция сюръективна, если ее изображение совпадает с ее содоменом. Сюръективная функция - это сюръекция . ^[1]^[2] Формальное определение следующее.

Функция сюръективна, если для всех существует такая, что ^[3]^[4]^[5]

f\colon X\to Y

y\in Y

x\in X

f(x)=y.

Ниже приведены некоторые факты, относящиеся к сюрпризам:

Функция F : X → Y сюръективно тогда и только тогда , когда он обратим справа, то есть, тогда и только тогда , когда существует функция г : Y → X такое , что F о г = функция тождественно на Y . (Это утверждение эквивалентно выбранной аксиоме .)
Сворачивая отображение всех аргументов в заданное фиксированное изображение, каждая сюръекция индуцирует биекцию из фактор-множества своей области в ее кодобласть. Точнее, прообразы при F элементов изображений F являются классами эквивалентности на качестве отношения эквивалентности на области F , такие , что х и у являются эквивалентными , если и только они имеют один и тот же образ при F . Поскольку все элементы любого из этих классов эквивалентности отображаются с помощью f на один и тот же элемент области, это индуцирует биекцию между фактормножествомэтим отношением эквивалентности (набор классов эквивалентности) и образом f (который является его областью области, когда f является скачкообразным). Кроме того, F представляет собой композицию из канонической проекции от F до множества фактор, а взаимно однозначное соответствие между множеством фактор и кообласть е .
Композиция двух сюръекций снова является сюръекцией, но если g o f сюръективен, то можно только сделать вывод, что g сюръективен (см. Рисунок).

Биекция [ править ]

Биективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной, а вторая функция не обязательно быть инъективной.

Функция биективна, если она одновременно инъективна и сюръективна. Биективная функция также называется биекцией или взаимно однозначным соответствием . ^[1] Функция биективна тогда и только тогда, когда каждое возможное изображение отображается ровно одним аргументом. ^[2] Это эквивалентное условие формально выражается следующим образом.

Функция биективна, если для всех существует единственная такая, что ^[3]^[4]^[5]

f\colon X\to Y

y\in Y

x\in X

f(x)=y.

Ниже приведены некоторые факты, относящиеся к предубеждениям:

Функция F : X → Y биективно тогда и только тогда , когда он обратим, то есть, существует функция г : Y → X такое , что г о е = функция тождественно на X и е о г = функция тождественно на Y . Эта функция сопоставляет каждое изображение с его уникальным прообразом.
Композиция двух биекций снова является биекцией, но если g o f является биекцией, то можно только сделать вывод, что f инъективно, а g сюръективно (см. Рисунок справа и замечания выше относительно инъекций и сюръекций).
Биекции из множества в себя образуют группу по композиции, называемую симметричной группой .

Мощность [ править ]

Предположим, что кто-то хочет определить, что значит для двух наборов «иметь одинаковое количество элементов». Один из способов сделать это - сказать, что два набора «имеют одинаковое количество элементов», тогда и только тогда, когда все элементы одного набора могут быть объединены в пары с элементами другого таким образом, что каждый элемент связан с ровно один элемент. Соответственно, можно определить два набора так, чтобы они «имели одинаковое количество элементов» - если между ними существует взаимное соответствие. В этом случае говорят, что оба набора имеют одинаковую мощность .

Точно так же можно сказать, что набор «имеет меньше или такое же количество элементов», как и набор , если есть инъекция от до ; можно также сказать, что набор «имеет меньше, чем количество элементов» в наборе , если есть инъекция от до , но не сопряжение между и . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

Примеры [ править ]

Важно указать домен и кодомен каждой функции, поскольку при их изменении функции, которые кажутся одинаковыми, могут иметь разные свойства.

Инъективное и сюръективное (биективное): Идентификационная функция id _X для каждого непустого множества X и, следовательно, в частности $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x.$; $\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}$ , а значит, и его обратная $\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.$; Экспоненциальная функция (то есть экспоненциальная функция с его ограничивается областью значений его изображений), а следовательно , и его инвертировать натуральный логарифм $\exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ $\ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.$

Инъективный и несюръективный: Экспоненциальная функция $\exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.$

Неинъективный и сюръективный: $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.$; $\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).$

Неинъективный и не-сюръективный: $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).$

Свойства [ править ]

Для каждой функции $F$ , подмножество $Х$ домена и подмножество $Y$ области значений, $X \subset F -1 (F (X))$ и $F (ф -1 (Y)) \subset Y$ . Если $F$ инъективно, то $X = F -1 (F (X))$ , и если $е$ сюръективна, то $F (F -1 (Y)) = Y$ .
Для каждой функции $h : X \to Y$ можно определить сюръекцию $H : X \to h (X): x \to h (x)$ и инъекцию $I : h (X) \to Y : y \to y$ . Отсюда следует, что . Это разложение единственное с точностью до изоморфизма . $h=I\circ H$

Теория категорий [ править ]

В категории из наборов , инъекция, проекции и биекции точно соответствуют мономорфизмам , эпиморфизмы и изоморфизмам соответственно. ^[6]

История [ править ]

Инъективно-сюръективно-биективная терминология (как существительные, так и прилагательные) была первоначально введена французской группой Бурбаки до их широкого распространения. ^[7]

См. Также [ править ]

Тест горизонтальной линии
Инъективный модуль
Перестановка

Ссылки [ править ]

^ a b c d e f g "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
^ a b c d e f «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
^ a b c d e f «Биекция, инъекция и сюръекция | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
^ a b c d e f Фарлоу, SJ "Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции" (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .
^ a b c d e f «6.3: Уколы, сюрпризы и би инъекции» . Математика LibreTexts . 2017-09-20 . Проверено 7 декабря 2019 .
^ «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предварительных пучков - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 .
^ Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

Внешние ссылки [ править ]

Самые ранние случаи использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимно-сопоставлении имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.

[:0-1] "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .

[:1-2] «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .

[:2-3] «Биекция, инъекция и сюръекция | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .

[:3-4] Фарлоу, SJ "Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции" (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .

[:4-5] «6.3: Уколы, сюрпризы и би инъекции» . Математика LibreTexts . 2017-09-20 . Проверено 7 декабря 2019 .

[6] «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предварительных пучков - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 .

[7] Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

[1]