Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , то Логическое идеал теорема утверждает , что идеалы в булевой алгебре могут быть расширены до простых идеалов . Вариант этого утверждения для фильтров на множествах известен как лемма об ультрафильтрах . Другие теоремы получаются путем рассмотрения различных математических структур с соответствующими понятиями идеалов, например, колец и простых идеалов (теории колец) или дистрибутивных решеток и максимальных идеалов ( теории порядка ). Эта статья посвящена теоремам о простых идеалах из теории порядка.

Хотя различные теоремы о простых идеалах могут показаться простыми и интуитивно понятными, они не могут быть выведены из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (сокращенно ZF). Вместо этого некоторые утверждения оказываются эквивалентными аксиоме выбора (AC), в то время как другие - например, теорема о простом булевом идеале - представляют свойство, которое строго слабее, чем AC. Именно из-за этого промежуточного статуса между ZF и ZF + AC (ZFC) теорема о булевом простом идеале часто используется в качестве аксиомы теории множеств. Аббревиатуры BPI или PIT (для булевых алгебр) иногда используются для обозначения этой дополнительной аксиомы.

Теоремы о простых идеалах [ править ]

Идеальный порядок является (непустым) направлено ниже набором . Если рассматриваемое частично упорядоченное множество (poset) имеет двоичную супрему (также известную как соединения ), как и наборы в этой статье, то это эквивалентно характеризуется как непустое нижнее множество I , которое закрыто для двоичных супремумов (то есть x , y в Я подразумеваю x y в I ). Идеал I является простым, если его теоретико-множественное дополнение в ч.у.м. является фильтром . Идеалы правильны, если они не равны всему изм.

Исторически первое утверждение, относящееся к более поздним теоремам о простых идеалах, фактически относилось к фильтрам - подмножествам, которые являются идеалами по отношению к двойственному порядку. Лемма об ультрафильтре утверждает, что каждый фильтр в наборе содержится в некотором максимальном (собственном) фильтре - ультрафильтре . Напомним, что фильтры на множествах являются собственными фильтрами булевой алгебры ее powerset . В этом особом случае максимальные фильтры (т. Е. Фильтры, которые не являются строгими подмножествами какого-либо надлежащего фильтра) и простые фильтры (т. Е. Фильтры, которые с каждым объединением подмножеств X и Y содержат также X или Y) совпадают. Таким образом, двойственность этого утверждения гарантирует, что каждый идеал набора мощности содержится в простом идеале.

Приведенное выше утверждение привело к различным обобщенным теоремам о простых идеалах, каждая из которых существует в слабой и сильной формах. Слабые теоремы о первичных идеалах утверждают, что каждая нетривиальная алгебра определенного класса имеет хотя бы один первичный идеал. Напротив, сильные теоремы о простых идеалах требуют, чтобы каждый идеал, не пересекающийся с данным фильтром, мог быть расширен до простого идеала, который все еще не пересекается с этим фильтром. В случае алгебр, которые не являются посетами, вместо фильтров используются разные подструктуры. На самом деле известно, что многие формы этих теорем эквивалентны, так что утверждение, что «PIT» выполняется, обычно принимается как утверждение, что соответствующее утверждение для булевых алгебр (BPI) верно.

Другой вариант подобных теорем получается заменой каждого вхождения простого идеала на максимальный идеал . Соответствующие теоремы о максимальном идеале (MIT) часто - хотя и не всегда - сильнее их эквивалентов в PIT.

Теорема о булевом простом идеале [ править ]

Теорема о простом булевом идеале является сильной теоремой о простом идеале для булевых алгебр. Таким образом, формальное заявление:

Пусть B - булева алгебра, пусть I - идеал, и пусть F - фильтр B , такой, что I и F не пересекаются . Тогда я содержится в некотором простом идеале B , который не пересекается с F .

Слабая теорема о простом идеале для булевых алгебр просто утверждает:

Каждая булева алгебра содержит простой идеал.

Мы называем эти заявления слабым и сильным BPI . Они эквивалентны, поскольку сильный BPI явно подразумевает слабый BPI, а обратная импликация может быть достигнута путем использования слабого BPI для нахождения простых идеалов в соответствующей фактор-алгебре.

BPI можно выразить по-разному. Для этого напомним следующую теорему:

Для любого идеала I булевой алгебры B следующие утверждения эквивалентны:

  • Я - главный идеал.
  • Я максимальный идеал, то есть для любого собственного идеала J , если я содержится в J , то I = J .
  • Для каждого элемента а из B , я содержит ровно один из { , ¬ }.

Эта теорема хорошо известна для булевых алгебр. Его двойник устанавливает эквивалентность основных фильтров и ультрафильтров. Обратите внимание, что последнее свойство фактически самодвойственно - только предварительное предположение, что I является идеалом, дает полную характеристику. Все следствия этой теоремы можно доказать в ZF.

Таким образом, следующая (сильная) теорема о максимальном идеале (MIT) для булевых алгебр эквивалентна BPI:

Пусть B - булева алгебра, пусть I - идеал, и пусть F - фильтр B , такой, что I и F не пересекаются. Тогда я содержится в некотором максимальном идеале B , который не пересекается с F .

Обратите внимание , что один требует «глобального» максимальности, а не только максимальности относительно того , что не пересекается с F . Тем не менее, эта вариация дает еще одну эквивалентную характеристику BPI:

Пусть B - булева алгебра, пусть I - идеал, и пусть F - фильтр B , такой, что I и F не пересекаются. Тогда я содержится в некотором идеале В , что является максимальным среди всех идеалов , не пересекающийся с F .

Тот факт, что это утверждение эквивалентно BPI, легко установить, отметив следующую теорему: для любой дистрибутивной решетки L , если идеал I максимален среди всех идеалов L , не пересекающихся с заданным фильтром F , то I является простым идеалом . Доказательство этого утверждения (которое снова может быть проведено в теории множеств ZF) включено в статью об идеалах. Поскольку любая булева алгебра является дистрибутивной решеткой, это показывает желаемую импликацию.

Теперь легко увидеть, что все приведенные выше утверждения эквивалентны. Идя еще дальше, можно использовать тот факт, что двойственные порядки булевых алгебр являются в точности самими булевыми алгебрами. Следовательно, если взять эквивалентные двойники ко всем предыдущим утверждениям, мы получим ряд теорем, которые в равной степени применимы к булевым алгебрам, но где каждое вхождение идеала заменяется фильтром . Стоит отметить, что для частного случая, когда рассматриваемая булева алгебра представляет собой набор степеней с упорядочением подмножеств , «теорема о максимальном фильтре» называется леммой об ультрафильтре.

Подводя итог, для булевых алгебр, слабая и сильная MIT, слабая и сильная PIT, а также эти утверждения с фильтрами вместо идеалов эквивалентны. Известно , что все эти заявления являются следствием аксиомой выбора , AC , (простой доказательство использует леммы Цорна ), но не может быть доказано в ZF (теории множеств Цермело-Френкеля без AC ), если ZF является последовательным . Тем не менее, BPI строго слабее выбранной аксиомы, хотя доказательство этого утверждения, проведенное Дж. Д. Халперном и Азриэлем Леви , довольно нетривиально.

Дальнейшие теоремы о простых идеалах [ править ]

Прототипные свойства, которые обсуждались для булевых алгебр в предыдущем разделе, можно легко изменить, включив в них более общие решетки , такие как дистрибутивные решетки или алгебры Гейтинга . Однако в этих случаях максимальные идеалы отличаются от простых идеалов, и связь между PIT и MIT не очевидна.

В самом деле, оказывается, что MIT для дистрибутивных решеток и даже для алгебр Гейтинга эквивалентны выбранной аксиоме. С другой стороны, известно, что сильная PIT для дистрибутивных решеток эквивалентна BPI (то есть MIT и PIT для булевых алгебр). Следовательно, это утверждение строго слабее выбранной аксиомы. Кроме того, обратите внимание, что алгебры Гейтинга не являются самодуальными, и поэтому использование фильтров вместо идеалов приводит к различным теоремам в этом случае. Может быть, удивительно, что MIT для двойственных алгебр Гейтинга не сильнее, чем BPI, что резко контрастирует с вышеупомянутым MIT для алгебр Гейтинга.

Наконец, теоремы о простых идеалах существуют и для других (не теоретико-порядковых) абстрактных алгебр. Например, MIT для колец подразумевает аксиому выбора. Эта ситуация требует замены теоретико-порядкового термина «фильтр» другими понятиями - для колец подходит «мультипликативно замкнутое подмножество».

Лемма об ультрафильтрации [ править ]

Смотрите также: Теоретико-множественная топология

Фильтр на множестве X - это непустой набор непустых подмножеств X , замкнутый относительно конечного пересечения и надмножества. Ультрафильтр - это максимальный фильтр. Ультрафильтр лемма утверждает , что каждый фильтр на множество X является подмножеством некоторого ультрафильтра на X . [1] Ультрафильтр, не содержащий конечных множеств, называется «неглавным». Лемма об ультрафильтрах, и в частности существование неглавных ультрафильтров (рассмотрим фильтр всех множеств с конечными дополнениями), может быть доказана с помощью леммы Цорна .

Лемма об ультрафильтре эквивалентна булевой теореме о простом идеале, эквивалентность которой доказывается в теории множеств ZF без аксиомы выбора. Идея доказательства состоит в том, что подмножества любого множества образуют булеву алгебру, частично упорядоченную по включению, и любая булева алгебра может быть представлена ​​как алгебра множеств по теореме Стоуна о представлении .

Если множество X конечно, то лемма об ультрафильтре может быть доказана из аксиом ZF. Это больше не верно для бесконечных множеств; дополнительная аксиома должна предполагать. Лемма Цорна , аксиома выбора и теорема Тихонова могут быть использованы для доказательства леммы об ультрафильтрах. Лемма об ультрафильтре строго слабее выбранной аксиомы.

Лемма об ультрафильтре имеет множество приложений в топологии . Ультрафильтр лемма может быть использована для доказательства теоремы Хана-Банаха и Александр SUBBASE теорему .

Приложения [ править ]

Интуитивно теорема о булевом простом идеале утверждает, что в булевой алгебре «достаточно» простых идеалов в том смысле, что мы можем расширить каждый идеал до максимального. Это имеет практическое значение для доказательства теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр , частного случая двойственности Стоуна , в котором каждый снабжает множество всех первичных идеалов определенной топологией и действительно может восстановить исходную булеву алгебру (с точностью до изоморфизма) из этих данных. Более того, оказывается, что в приложениях можно свободно выбирать, работать с простыми идеалами или с простыми фильтрами, потому что каждый идеал однозначно определяет фильтр: набор всех логических дополнений его элементов. Оба подхода можно найти в литературе.

Многие другие теоремы общей топологии, которые, как часто говорят, основаны на выбранной аксиоме, на самом деле эквивалентны BPI. Например, ей эквивалентна теорема о компактности произведения компактных хаусдорфовых пространств . Если мы опустим «Хаусдорф», мы получим теорему, эквивалентную полной аксиоме выбора.

В теории графов , то де Брейна-Erdős теорема является еще эквивалентно BPI. Он утверждает, что если данный бесконечный граф требует хотя бы некоторого конечного числа k в любой раскраске графа , то у него есть конечный подграф, который также требует k . [2]

Не слишком известное приложение булевой теоремы о простом идеале - это существование неизмеримого множества [3] (обычно приводится пример множества Витали , для которого требуется аксиома выбора). Из этого и того факта, что BPI строго слабее, чем выбранная аксиома, следует, что существование неизмеримых множеств строго слабее, чем выбранная аксиома.

В линейной алгебре теорема о булевом простом идеале может использоваться для доказательства того, что любые два базиса данного векторного пространства имеют одинаковую мощность .

См. Также [ править ]

  • Список тем по булевой алгебре

Заметки [ править ]

  1. ^ Хальперн, Джеймс Д. (1966), «Основы в векторных пространств и аксиома выбора», Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 17 (3): 670-673, DOI : 10,1090 / S0002-9939- 1966-0194340-1 , JSTOR  2035388.
  2. ^ Läuchli, H. (1971), "Раскраска бесконечных графиков и булева простая теоремы идеала", Израиль Журнал математики , 9 (4): 422-429, DOI : 10.1007 / BF02771458 , MR 0288051 , S2CID 122090105  .
  3. ^ Серпинский, Wacław (1938), "Fonctions добавки не complètement добавки и др fonctions не mesurables", Fundamenta Mathematicae , 30 : 96-99, DOI : 10,4064 / FM-30-1-96-99

Ссылки [ править ]

  • Дэйви, BA; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1.
Легко читаемое введение, показывающее эквивалентность PIT для булевых алгебр и дистрибутивных решеток.
  • Джонстон, Питер (1982), Stone Spaces , Кембриджские исследования в области высшей математики, 3 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3.
Теория, изложенная в этой книге, часто требует выбора принципов. Примечания к различным главам обсуждают общее отношение теорем к PIT и MIT для различных структур (хотя в основном решеток) и дают указатели на дополнительную литературу.
  • Банашевский, B. (1983), "Сила теоремы ультрафильтрационной", журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 27 (2): 193-202, DOI : 10.1112 / jlms / s2-27.2.193.
Обсуждает статус леммы об ультрафильтре.
  • Эрн, M. (2000), "Премьер - идеальная теория для общих алгебр", Applied Категориальные структуры , 8 : 115-144, DOI : 10.1023 / A: 1008611926427 , S2CID  31605587.
Дает много эквивалентных утверждений для BPI, включая теоремы о простых идеалах для других алгебраических структур. PIT рассматриваются как частные случаи лемм о разделении.