Аксиома выбора

Иллюстрация аксиомы выбора, где каждый S _i и x _i представлен в виде кувшина и цветного шарика соответственно.

(S _i ) - бесконечное семейство множеств, индексированных по действительным числам R ; то есть существует набор S _i для каждого действительного числа i с небольшой выборкой, показанной выше. Каждый набор содержит по крайней мере один, а возможно и бесконечно много элементов. Аксиома выбора позволяет нам произвольно выбирать один элемент из каждого набора, формируя соответствующее семейство элементов ( x _i ), также индексированных по действительным числам, причем x _i берется из S _i . В целом, коллекции могут быть проиндексированы в течение любого множества I , а не только R .

В математике , то аксиома выбора , или переменного тока , является аксиомой в теории множеств равносильно утверждению , что декартово произведение из коллекции непустых множеств не пусто . Неформально говоря, аксиома выбора гласит, что для любой коллекции ячеек, каждая из которых содержит хотя бы один объект, можно выбрать ровно один объект из каждой ячейки, даже если коллекция бесконечна . Формально, в нем говорится , что для каждой индексируемой семьи из непустых множеств существует индексированное семейство элементов , такие , что для каждого ${\ Displaystyle (S_ {я}) _ {я \ в I}}$${\ Displaystyle (х_ {я}) _ {я \ в я}}$${\ displaystyle x_ {i} \ in S_ {i}}$${\ displaystyle i \ in I}$. Аксиома выбора была сформулирована в 1904 году Эрнстом Цермело , чтобы формализовать его доказательство теоремы о хорошем порядке . ^[1]

Во многих случаях такой выбор может быть сделан без применения аксиомы выбора; это, в частности, имеет место, если количество наборов конечно, или если доступно правило выбора - какое-то отличительное свойство, которое имеет место ровно для одного элемента в каждом наборе. Наглядный пример - наборы, взятые из натуральных чисел. Из таких наборов всегда можно выбрать наименьшее число, например, для наборов {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} набор, содержащий каждый наименьший элемент, равен {4 , 10, 1}. В этом случае «выберите наименьшее число» - это функция выбора.. Даже если из натуральных чисел было собрано бесконечно много наборов, всегда можно будет выбрать наименьший элемент из каждого набора для создания набора. То есть функция выбора предоставляет набор выбранных элементов. Однако функция выбора не известна для сбора всех непустых подмножеств действительных чисел (если есть неконструктивные действительные числа ). В этом случае необходимо применить аксиому выбора.

Бертран Рассел ввел аналогию: для любой (даже бесконечной) коллекции пар обуви можно выбрать левую обувь из каждой пары, чтобы получить соответствующий выбор; это позволяет напрямую определять функцию выбора. Для бесконечного набора пар носков (предполагается, что они не имеют отличительных черт) нет очевидного способа создать функцию, которая выбирает по одному носку из каждой пары, без применения аксиомы выбора. ^[2]

Хотя первоначально спорный, аксиома выбора теперь используется без оговорки большинством математиков, ^[3] , и он включен в стандартную форму аксиоматической теории множеств , Цермело-Френкеля теории множеств с аксиомой выбора ( ZFC ). Одним из мотивов такого использования является то, что ряд общепринятых математических результатов, таких как теорема Тихонова , требуют аксиомы выбора для своих доказательств. Современные теоретики множеств также изучают аксиомы, несовместимые с аксиомой выбора, например аксиому детерминированности . Аксиома выбора избегается в некоторых разновидностях конструктивной математики., хотя существуют разновидности конструктивной математики, в которых принята аксиома выбора.

Заявление [ править ]

Функция выбора представляет собой функцию F , определенный на сбор X непустых множеств, такие , что для любого множество А в X , F ( ) является элементом A . С помощью этой концепции можно сформулировать аксиому:

Формально это можно выразить так:

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.}$

Таким образом, отрицание аксиомы выбора утверждает, что существует набор непустых множеств, не имеющий функции выбора.

Каждая функция выбора на коллекцию X непустых множеств элемент декартова произведения множеств в X . Это не самая общая ситуация с декартовым произведением семейства множеств, где данное множество может встречаться более одного раза в качестве фактора; однако можно сосредоточиться на элементах такого продукта, которые выбирают один и тот же элемент каждый раз, когда данный набор появляется как фактор, и такие элементы соответствуют элементу декартова произведения всех различных наборов в семействе. Аксиома выбора утверждает существование таких элементов; поэтому это эквивалентно:

Для любого семейства непустых множеств их декартово произведение является непустым множеством.

Номенклатура ZF, AC и ZFC [ править ]

В этой статье и других обсуждениях Аксиомы выбора используются следующие сокращения:

• AC - Аксиома выбора.
• ZF - теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора.
• ZFC - теория множеств Цермело – Френкеля, расширенная за счет включения аксиомы выбора.

Варианты [ править ]

Есть много других эквивалентных утверждений аксиомы выбора. Они эквивалентны в том смысле, что при наличии других основных аксиом теории множеств они подразумевают аксиому выбора и подразумеваются ею.

Один вариант позволяет избежать использования функций выбора, фактически заменяя каждую функцию выбора ее диапазоном.

Принимая во внимание любое множество X из попарно непересекающихся непустых множеств, существует по крайней мере один набор C , который содержит ровно один общий элемент с каждым из множеств в X . ^[4]

Это гарантирует для любого разбиения множества X существование подмножества C множества X, содержащего ровно один элемент из каждой части разбиения.

Другая эквивалентная аксиома рассматривает только коллекции X , которые по существу являются наборами других наборов:

Для любого набора A набор мощности A (с удаленным пустым набором) имеет функцию выбора.

Авторы, использующие эту формулировку, часто говорят о функции выбора на A , но это немного другое понятие функции выбора. Его доменом является набор степеней A (с удаленным пустым набором), и поэтому он имеет смысл для любого набора A , тогда как с определением, используемым в другом месте в этой статье, доменом функции выбора для набора наборов является этот набор, и это имеет смысл только для наборов наборов. С этим альтернативным понятием функции выбора аксиома выбора может быть компактно сформулирована как

У каждого набора есть функция выбора. ^[5]

что эквивалентно

Для любого множества А существует функция F такая , что для любого непустого подмножества В А , е ( Б ) лежит в B .

Таким образом, отрицание аксиомы можно выразить как:

Существует множество такое , что для всех функций F (на множестве непустых подмножеств A ), существует Б такое , что F ( B ) не лежит в B .

Ограничение конечными наборами [ править ]

Утверждение аксиомы выбора не указывает, является ли набор непустых множеств конечным или бесконечным, и, таким образом, подразумевает, что каждый конечный набор непустых множеств имеет функцию выбора. Однако этот частный случай является теоремой теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF); это легко доказывается математической индукцией . ^[6] В еще более простом случае коллекции из одного набора функция выбора просто соответствует элементу, поэтому этот пример аксиомы выбора говорит, что каждое непустое множество имеет элемент; это выполняется тривиально. Выбранная аксиома может рассматриваться как утверждение обобщения этого свойства, уже очевидного для конечных коллекций, на произвольные коллекции.

Использование [ править ]

До конца 19 века аксиома выбора часто использовалась неявно, хотя формально она еще не была сформулирована. Например, после того , как установлено , что множество X содержит только непустые множества, математик мог бы сказать «пусть F (s) быть один из членов с для всех х в X » , чтобы определить функцию F . В общем, невозможно доказать, что F существует без аксиомы выбора, но, похоже, это осталось незамеченным до Цермело .

Не в каждой ситуации требуется аксиома выбора. Для конечных множеств X аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. В этом случае это эквивалентно тому, что если у нас есть несколько (конечное число) ящиков, каждое из которых содержит хотя бы один элемент, то мы можем выбрать ровно один элемент из каждого ящика. Ясно, что мы можем это сделать: мы начинаем с первого поля, выбираем элемент; перейдите ко второму окну, выберите товар; и так далее. Количество ящиков конечно, так что в конце концов наша процедура выбора подходит к концу. Результатом является функция явного выбора: функция, которая переводит первое поле к первому выбранному нами элементу, второе поле - ко второму выбранному нами элементу и так далее. (Формальное доказательство для всех конечных множеств будет использовать принцип математической индукциичтобы доказать, что «для каждого натурального числа k каждое семейство из k непустых множеств имеет функцию выбора»). Однако этот метод нельзя использовать, чтобы показать, что каждое счетное семейство непустых множеств имеет функцию выбора, как утверждается в аксиоме счетного выбора . Если метод применяется к бесконечной последовательности ( X _i  : i ∈ω) непустых множеств, функция получается на каждом конечном этапе, но нет этапа, на котором строится функция выбора для всего семейства, и нет " предельную "функцию выбора можно построить, вообще говоря, в ZF без аксиомы выбора.

Примеры [ править ]

Природа отдельных непустых множеств в коллекции может позволить избежать аксиомы выбора даже для некоторых бесконечных наборов. Например, предположим, что каждый член коллекции X является непустым подмножеством натуральных чисел. Каждое такое подмножество имеет наименьший элемент, поэтому, чтобы указать нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что она отображает каждый набор на наименьший элемент этого набора. Это дает нам определенный выбор элемента из каждого набора и избавляет от необходимости применять аксиому выбора.

Сложность возникает, когда нет естественного выбора элементов из каждого набора. Если мы не можем сделать явный выбор, как мы узнаем, что наш набор существует? Например, предположим, что X - это множество всех непустых подмножеств действительных чисел . Сначала мы могли бы попытаться действовать так, как если бы X было конечным. Если мы попытаемся выбрать элемент из каждого набора, то из X бесконечно, наша процедура выбора никогда не придет к концу, и , следовательно, мы никогда не должны быть в состоянии производить функцию выбора для всех X . Затем мы можем попробовать указать наименьшее количество элементов из каждого набора. Но некоторые подмножества действительных чисел не имеют наименьших элементов. Например, открытый интервал(0,1) не имеет наименьшего элемента: если x находится в (0,1), то также и x / 2, а x / 2 всегда строго меньше x . Так что и эта попытка не удалась.

Кроме того, рассмотрим, например, единичную окружность S и действие на S группой G, состоящей из всех рациональных вращений. А именно, это повороты на углы, рациональные кратные  π . Здесь G счетно, а S несчетно. Следовательно , S распадается на несчетное множество орбит под  G . Используя выбранную аксиому, мы могли бы выбрать одну точку с каждой орбиты, получив несчетное подмножество X в S со свойством, что все его переводы на G не пересекаются с  X. Набор из них переводит разбиение круга на счетный набор непересекающихся множеств, которые все попарно конгруэнтны. Поскольку X не измеримо для любой счетно-аддитивной конечной меры, инвариантной относительно вращения, на S , поиск алгоритма для выбора точки на каждой орбите требует аксиомы выбора. См. Неизмеримый набор для более подробной информации.

Причина, по которой мы можем выбирать наименьшие элементы из подмножеств натуральных чисел, заключается в том, что натуральные числа хорошо упорядочены : каждое непустое подмножество натуральных чисел имеет уникальный наименьший элемент при естественном порядке. Можно сказать: «Даже если обычное упорядочение действительных чисел не работает, возможно, удастся найти другое упорядочение действительных чисел, которое является правильным. Тогда наша функция выбора может выбрать наименьший элемент из каждого набора. по нашему необычному заказу ". Тогда проблема сводится к построению хорошего упорядочения, которое, как оказывается, требует аксиомы выбора для своего существования; каждый набор может быть хорошо упорядочен тогда и только тогда, когда выполняется аксиома выбора.

Критика и признание [ править ]

Доказательство, требующее аксиомы выбора, может установить существование объекта без явного определения объекта на языке теории множеств. Например, в то время как аксиома выбора подразумевает, что существует хороший порядок действительных чисел, существуют модели теории множеств с выбранной аксиомой, в которых нельзя определить точное упорядочение вещественных чисел. Точно так же, хотя подмножество действительных чисел, не измеримое по Лебегу, можно доказать с помощью аксиомы выбора, согласовано, что ни один такой набор не является определимым. ^[7]

Аксиома выбора доказывает существование этих нематериальных активов (объектов, существование которых доказано, но которые не могут быть явно сконструированы), что может противоречить некоторым философским принципам. ^[8] Поскольку не существует канонического хорошего упорядочения всех множеств, конструкция, основанная на хорошем упорядочивании, может не дать канонического результата, даже если канонический результат желателен (как это часто бывает в теории категорий ). Это использовалось как аргумент против использования аксиомы выбора.

Еще один аргумент против аксиомы выбора состоит в том, что она подразумевает существование объектов, которые могут показаться нелогичными. ^[9] Одним из примеров является парадокс Банаха-Тарского, который гласит, что можно разложить трехмерный твердый единичный шар на конечное число частей и, используя только вращения и перемещения, собрать эти части в два твердых шара, каждый с одинаковым объемом. как оригинал. Фрагменты этого разложения, построенные с использованием выбранной аксиомы, являются неизмеримыми множествами .

Несмотря на эти, казалось бы, парадоксальные факты, большинство математиков принимают аксиому выбора как действительный принцип для доказательства новых результатов в математике. Тем не менее, дискуссия достаточно интересна, поскольку считается заметной, когда теорема в ZFC (ZF плюс AC) логически эквивалентна (только с аксиомами ZF) выбранной аксиоме, и математики ищут результаты, требующие аксиомы выбор быть ложным, хотя этот тип дедукции менее распространен, чем тип, который требует, чтобы аксиома выбора была истинной.

Можно доказать многие теоремы, не используя ни аксиомы выбора, ни ее отрицания; такие утверждения будут верны в любой модели ZF, независимо от истинности или ложности аксиомы выбора в этой конкретной модели. Ограничение ZF делает недоказанным любое утверждение, основанное либо на аксиоме выбора, либо на ее отрицании. Например, парадокс Банаха – Тарского нельзя доказать или опровергнуть только с помощью ZF: невозможно построить требуемое разложение единичного шара в ZF, но также невозможно доказать, что такого разложения нет. Точно так же все утверждения, перечисленные ниже ^{[ необходимы пояснения ]}которые требуют выбора или какой-либо более слабой версии для их доказательства, недоказуемы в ZF, но поскольку каждая из них доказуема в ZF плюс аксиома выбора, существуют модели ZF, в которых каждое утверждение истинно. Такие утверждения, как парадокс Банаха – Тарского, можно перефразировать как условные утверждения, например: «Если AC выполняется, то разложение в парадоксе Банаха – Тарского существует». Такие условные утверждения доказуемы в ZF, если исходные утверждения доказуемы из ZF и выбранной аксиомы.

В конструктивной математике [ править ]

Как обсуждалось выше, в ZFC выбранная аксиома может предоставить « неконструктивные доказательства », в которых доказывается существование объекта, хотя явный пример не построен. ZFC, однако, все еще формализован в классической логике. Аксиома выбора также была тщательно изучена в контексте конструктивной математики, где используется неклассическая логика. Статус выбранной аксиомы варьируется в зависимости от разновидностей конструктивной математики.

В теории типов Мартина-Лёфа и арифметике Гейтинга более высокого порядка соответствующее утверждение аксиомы выбора (в зависимости от подхода) включается в качестве аксиомы или доказуемо как теорема. ^[10] Эрретт Бишоп утверждал, что аксиома выбора была конструктивно приемлемой, говоря:

Функция выбора существует в конструктивной математике, потому что выбор подразумевается самим смыслом существования. ^[11]

В конструктивной теории множеств , однако, теорема Диаконеску показывает, что аксиома выбора подразумевает закон исключенного третьего (в отличие от теории типа Мартина-Лёфа, где это не так). Таким образом, аксиома выбора обычно недоступна в конструктивной теории множеств. Причина этого различия заключается в том, что аксиома выбора в теории типов не обладает свойствами экстенсиональности, которыми обладает аксиома выбора в конструктивной теории множеств. ^[12]

Некоторые результаты в конструктивной теории множеств используют аксиому счетного выбора или аксиому зависимого выбора , которые не подразумевают закон исключенного третьего в конструктивной теории множеств. Хотя аксиома счетного выбора, в частности, обычно используется в конструктивной математике, ее использование также подвергается сомнению. ^[13]

Независимость [ править ]

В 1938 году ^[14] Курт Гёдель показал, что отрицание аксиомы выбора не является теоремой ZF, построив внутреннюю модель ( конструируемую вселенную ), которая удовлетворяет ZFC, и тем самым показав, что ZFC непротиворечива, если сам ZF непротиворечив. В 1963 году Пол Коэн применил технику принуждения , разработанную для этой цели, чтобы показать, что в предположении непротиворечивости ZF аксиома выбора сама по себе не является теоремой ZF. Он сделал это, построив гораздо более сложную модель, которая удовлетворяет ZF¬C (ZF с отрицанием AC, добавленным в качестве аксиомы) и, таким образом, показав, что ZF¬C непротиворечива. ^[15]

Вместе эти результаты показывают, что выбранная аксиома логически не зависит от ZF. Предположение о непротиворечивости ZF безвредно, потому что добавление еще одной аксиомы к уже противоречивой системе не может ухудшить ситуацию. Из-за независимости решение об использовании аксиомы выбора (или ее отрицания) в доказательстве не может быть принято путем обращения к другим аксиомам теории множеств. Решение должно быть принято по другим основаниям.

Один аргумент в пользу использования аксиомы выбора состоит в том, что ее удобно использовать, потому что она позволяет доказать некоторые упрощающие предложения, которые иначе не могли бы быть доказаны. Многие теоремы , которые доказуемо с помощью выбора имеют элегантный общий характер: каждый идеал в кольце содержатся в максимальном идеале , каждый вектор пространство имеет базис , и каждый продукт из компактных пространств компактно. Без выбранной аксиомы эти теоремы могут не выполняться для математических объектов большой мощности.

Доказательство результата независимости также показывает, что широкий класс математических утверждений, включая все утверждения, которые могут быть сформулированы на языке арифметики Пеано , доказуемы в ZF тогда и только тогда, когда они доказуемы в ZFC. ^[16] Утверждения этого класса включают утверждение, что P = NP , гипотезу Римана и многие другие нерешенные математические проблемы. Когда кто-то пытается решить проблемы этого класса, не имеет значения, используется ли ZF или ZFC, если единственный вопрос - наличие доказательства. Однако возможно, что существует более короткое доказательство теоремы из ZFC, чем из ZF.

Избранная аксиома - не единственное важное утверждение, не зависящее от ZF. Например, обобщенная гипотеза континуума (GCH) не только не зависит от ZF, но также и от ZFC. Однако ZF плюс GCH подразумевает AC, что делает GCH более сильным заявлением, чем AC, даже если они оба независимы от ZF.

Более сильные аксиомы [ править ]

И аксиома конструктивности, и гипотеза обобщенного континуума подразумевают аксиому выбора и поэтому строго сильнее ее. В теориях классов, таких как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя и теория множеств Морса – Келли , существует аксиома, называемая аксиомой глобального выбора, которая сильнее аксиомы выбора для множеств, поскольку она также применима к собственным классам. Аксиома глобального выбора следует из аксиомы ограничения размера . Аксиома Тарского, которая используется в теории множеств Тарского – Гротендика и утверждает (на просторечии), что каждое множество принадлежит некоторой вселенной Гротендика., сильнее аксиомы выбора.

Эквиваленты [ править ]

Есть важные утверждения, которые, принимая аксиомы ZF, но не AC или ¬AC, эквивалентны выбранной аксиоме. ^[17] Наиболее важными из них являются лемма Цорна и теорема о хорошем порядке . Фактически, Цермело первоначально ввел аксиому выбора, чтобы формализовать свое доказательство теоремы о хорошем порядке.

• Теория множеств
  • Теорема об упорядочивании : каждый набор можно упорядочить. Следовательно, у каждого кардинала есть начальный ординал .
  • Теорема Тарского о выборе : Для каждого бесконечного множества А , существует взаимно однозначное отображение между множествами A и A × A .
  • Трихотомия : если даны два набора, то либо они имеют одинаковую мощность, либо один имеет меньшую мощность, чем другой.
  • Учитывая два непустых множества, одно имеет сюръекцию с другим.
  • Декартово произведение любого семейства непустых множеств не пусто.
  • Теорема Кенига : в разговорной речи сумма последовательности кардиналов строго меньше, чем произведение последовательности более крупных кардиналов. (Причина использования термина «в просторечии» в том, что сумма или произведение «последовательности» кардиналов не может быть определена без какого-либо аспекта аксиомы выбора.)
  • У каждой сюръективной функции есть правая обратная .
• Теория порядка
  • Лемма Цорна : каждое непустое частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь ( то есть полностью упорядоченное подмножество) имеет верхнюю границу, содержит по крайней мере один максимальный элемент.
  • Максимальный принцип Хаусдорфа : в любом частично упорядоченном множестве каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве. Ограниченный принцип «Каждое частично упорядоченное множество имеет максимальное полностью упорядоченное подмножество» также эквивалентно AC над ZF.
  • Лемма Тьюки : каждый непустой набор конечного характера имеет максимальный элемент относительно включения.
  • Принцип антицепи : каждый частично упорядоченный набор имеет максимальную антицепь .
• Абстрактная алгебра
  • Каждое векторное пространство имеет основу . ^[18]
  • Теорема Крулля : каждое кольцо с единицей, кроме тривиального, содержит максимальный идеал .
  • Для каждого непустого множества S существует бинарная операция, определенная на S, которая придает ему групповую структуру . ^[19] (Достаточно бинарной операции сокращения , см. Структуру группы и выбранную аксиому .)
  • Каждый набор является проективным объектом в категории « Набор множеств». ^{[20] [21]}
• Функциональный анализ
  • Замкнутый единичный шар двойственного к нормированному векторному пространству над вещественными числами имеет крайнюю точку .
• Точечная топология
  • Тихонова теорема : Каждый продукт из компактных топологических пространств компактно.
  • В топологии продукта замыкание произведения подмножеств равно произведению замыканий.
• Математическая логика
  • Если S представляет собой набор предложений логики первого порядка и В является последовательным подмножество S , то В входит в набор , который является максимальным среди последовательных подмножеств S . Частный случай, когда S - множество всех предложений первого порядка в данной сигнатуре, является более слабым, что эквивалентно булевой теореме о простом идеале ; см. раздел «Более слабые формы» ниже.
• Теория графов
  • У каждого связного графа есть остовное дерево . ^[22]

Теория категорий [ править ]

В теории категорий есть несколько результатов, для доказательства которых используется аксиома выбора. Эти результаты могут быть слабее, эквивалентны или сильнее выбранной аксиомы, в зависимости от прочности технических основ. Например, если кто-то определяет категории в терминах множеств, то есть как наборы объектов и морфизмов (обычно называемые малой категорией ), или даже локально маленькие категории, чьи гом-объекты являются множествами, то категории всех множеств не существует., поэтому теоретико-категориальную формулировку трудно применить ко всем множествам. С другой стороны, другие фундаментальные описания теории категорий значительно сильнее, и идентичное теоретико-категориальное утверждение о выборе может быть сильнее, чем стандартная формулировка а-ля теория классов, упомянутая выше.

Примеры теоретико-категориальных утверждений, требующих выбора, включают:

• У каждой малой категории есть скелет .
• Если две маленькие категории слабо эквивалентны, то они эквивалентны .
• Каждый непрерывный функтор на малой полной категории, удовлетворяющий соответствующему условию множества решений, имеет лево- сопряженный функтор (теорема Фрейда о сопряженном функторе).

Более слабые формы [ править ]

Есть несколько более слабых утверждений, которые не эквивалентны аксиоме выбора, но тесно связаны между собой. Одним из примеров является аксиома зависимого выбора (ЗВ). Еще более слабым примером является аксиома счетного выбора (AC _ω или CC), которая утверждает, что функция выбора существует для любого счетного множества непустых множеств. Этих аксиом достаточно для многих доказательств элементарного математического анализа , и они согласуются с некоторыми принципами, такими как измеримость по Лебегу всех множеств действительных чисел, которые нельзя доказать с помощью полной аксиомы выбора.

Другие аксиомы выбора, более слабые, чем аксиома выбора, включают теорему о булевом простом идеале и аксиому униформизации . Первый эквивалент в ZF лемме Тарского 1930 года об ультрафильтрах : каждый фильтр является подмножеством некоторого ультрафильтра .

Результаты, требующие AC (или более слабые формы), но более слабые, чем он [ править ]

Один из самых интересных аспектов аксиомы выбора - это большое количество мест в математике, которые она занимает. Вот некоторые утверждения, которые требуют аксиомы выбора в том смысле, что они не доказуемы из ZF, но доказуемы из ZFC (ZF плюс AC). Равным образом эти утверждения верны для всех моделей ZFC, но неверны для некоторых моделей ZF.

• Теория множеств
  • Ультрафильтр лемма (с ZF) может быть использована , чтобы доказать аксиому выбора для конечных множеств: Дано I ≠ ∅ и сборник ( X _я ) _{я ∈ I} непустых конечных множеств, их произведение не является пустым. ^[23]${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$
  • Любое объединение счетного множества счетных множеств само по себе является счетным (потому что необходимо выбрать конкретный порядок для каждого из счетного множества множеств).
  • Если множество является бесконечным , то существует инъекция из натуральных чисел N в A (см дедекиндово бесконечное ). ^[24]
  • Восемь определений конечного множества эквивалентны. ^[25]
  • Каждая бесконечная игра , в которой есть Борель подмножество Бэр пространства будет определена .${\displaystyle G_{S}}$${\displaystyle S}$
• Теория меры
  • Теорема Витали о существовании неизмеримых множеств, которая утверждает, что существует подмножество действительных чисел , которое не измеримо по Лебегу .
  • Хаусдорфа парадокс .
  • Банаха-Тарского парадокс .
  • Мера Лебега счетного несвязного объединения измеримых множеств равна сумме мер отдельных наборов.
• Алгебра
  • Каждое поле имеет алгебраическое замыкание .
  • Каждое расширение поля имеет основу трансцендентности .
  • Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр требует теоремы о булевом простом идеале .
  • Теорема Нильсена – Шрайера о том , что каждая подгруппа свободной группы свободна.
  • Аддитивные группы R и C изоморфны. ^{[26] [27]}
• Функциональный анализ
  • Теорема Хана – Банаха в функциональном анализе , допускающая расширение линейных функционалов
  • Теорема о том, что каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис.
  • Теорема Банаха – Алаоглу о компактности множеств функционалов.
  • Категория теорема Бэра о полных метрических пространствах , и его последствиях, таких как теорема об открытом отображении и теоремы о замкнутом графике .
  • На всяком бесконечномерном топологическом векторном пространстве существует разрывное линейное отображение .
• Общая топология
  • Равномерное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
  • Каждое тихоновское пространство имеет компактификацию Стоуна – Чеха .
• Математическая логика
  • Теорема Гёделя о полноте для логики первого порядка: каждый непротиворечивый набор предложений первого порядка имеет завершение. То есть каждый непротиворечивый набор предложений первого порядка может быть расширен до максимального непротиворечивого набора.

Возможно эквивалентное значение AC [ править ]

Есть несколько исторически важных теоретико-множественных утверждений, подразумеваемых AC, чья эквивалентность AC открыта. Принцип разделения, который был сформулирован до самого AC, был процитирован Цермело в качестве оправдания своей веры в AC. В 1906 году Рассел объявил PP эквивалентным, но вопрос о том, следует ли из принципа разделения AC, все еще остается самой старой открытой проблемой в теории множеств, а эквивалентности других утверждений - такие же трудные старые открытые проблемы. В каждой известной модели ZF, где выбор не выполняется, эти утверждения также терпят неудачу, но неизвестно, могут ли они выполняться без выбора.

• Теория множеств
  • Принцип распределения: если есть сюръекция от A до B , существует впрыск от B к A . Эквивалентно, каждый раздел P набора S меньше или равен S по размеру.
  • Converse теорема Шредер-Бернштейн : если два множества имеет сюръекции друг к другу, они equinumerous.
  • Слабый принцип раздела: Разбиение множества S не может быть строго больше , чем S . Если WPP выполняется, это уже означает существование неизмеримого множества. Каждое из трех предыдущих утверждений подразумевается предыдущим, но неизвестно, может ли какое-либо из этих утверждений быть обращено вспять.
  • Нет бесконечной убывающей последовательности кардиналов. Об эквивалентности предположил Шенфлис в 1905 году.
• Абстрактная алгебра
  • Теорема вложения Хана : каждая упорядоченная абелева группа G упорядоченно вкладывается как подгруппа аддитивной группы, наделенной лексикографическим порядком , где Ω - множество классов архимедовой эквивалентности группы Ω. Эта эквивалентность была высказана Ханом в 1907 году.${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$

Более сильные формы отрицания AC [ править ]

Если мы сокращаем до BP утверждение о том, что каждый набор действительных чисел обладает свойством Бэра , то BP сильнее, чем ¬AC, который утверждает несуществование какой-либо функции выбора, возможно, только на одном наборе непустых множеств. Усиленные отрицания могут быть совместимы с ослабленными формами AC. Например, ZF + DC ^[28] + BP согласован, если ZF согласован.

С ZF + DC также согласуется то, что каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу ; однако этот результат согласованности, сделанный Робертом М. Соловеем , не может быть доказан в самом ZFC, но требует умеренного большого кардинального предположения (существование недоступного кардинала ). Гораздо более сильная аксиома детерминированности , или AD, подразумевает, что каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу, обладает свойством Бэра и обладает свойством совершенного множества (все три из этих результатов опровергнуты самим AC). ZF + DC + AD непротиворечиво при условии, что достаточно сильная большая кардинальная аксиома непротиворечива (существование бесконечного числа кардиналов Вудена ).

Система аксиоматической теории множеств Куайна, «Новые основы» (НФ), получила свое название от названия («Новые основы математической логики») статьи 1937 года, в которой она была представлена. В аксиоматической системе NF аксиома выбора может быть опровергнута. ^[29]

Заявления согласуются с отрицанием AC [ править ]

Существуют модели теории множеств Цермело-Френкеля, в которых аксиома выбора неверна. Мы будем сокращать «теория множеств Цермело-Френкеля плюс отрицание аксиомы выбора» на ZF¬C. Для некоторых моделей ZF¬C можно доказать отрицание некоторых стандартных фактов. Любая модель ZF¬C также является моделью ZF, поэтому для каждого из следующих утверждений существует модель ZF, в которой это утверждение истинно.

• В некоторых моделях есть набор, который можно разделить на строго большее количество классов эквивалентности, чем в исходном наборе есть элементы, и функция, область определения которой строго меньше, чем ее диапазон. Собственно, так обстоит дело со всеми известными моделями.
• Существует функция F от действительных чисел для действительных чисел таким образом, что е не является непрерывным на , но F является последовательно непрерывна на , то есть, для любой последовательности { х _п } , сходящаяся к , Пт _п е ( х _п ) = f (а).
• В некоторых моделях существует бесконечный набор действительных чисел без счетно бесконечного подмножества.
• В некоторых моделях действительные числа представляют собой счетное объединение счетных множеств. ^[30] Это не означает, что действительные числа счетны: как указывалось выше, чтобы показать, что счетное объединение счетных множеств само является счетным, требуется Аксиома счетного выбора .
• В какой-то модели есть поле без алгебраического замыкания.
• Во всех моделях ZF¬C есть векторное пространство без базиса.
• В какой-то модели есть векторное пространство с двумя базами разной мощности.
• В некоторой модели существует свободная полная логическая алгебра на счетном числе образующих. ^[31]
• В некоторых моделях есть набор, который нельзя упорядочить линейно .
• Там существует модель ZF¬C , в котором каждое множество в R ^п является измеримой . Таким образом, можно исключить противоречащие интуиции результаты, такие как парадокс Банаха – Тарского, которые доказываются в ZFC. Более того, это возможно при допущении аксиомы зависимого выбора , которая слабее, чем AC, но достаточна для развития большей части реального анализа .
• Во всех моделях ZF¬C гипотеза обобщенного континуума не выполняется.

Доказательства см. В Jech (2008) .

Кроме того, налагая условия определимости на множества (в смысле описательной теории множеств ), можно часто доказать ограниченные версии аксиомы выбора из аксиом, несовместимых с общим выбором. Это появляется, например, в лемме о кодировании Мощовакиса .

Аксиома выбора в теории типов [ править ]

В теории типов утверждения другого типа известны как аксиома выбора. Эта форма начинается с двух типов, σ и τ, и отношения R между объектами типа σ и объектами типа τ. Аксиома выбора утверждает, что если для каждого x типа σ существует y типа τ такое, что R ( x , y ), то существует функция f от объектов типа σ к объектам типа τ такая, что R ( x , f ( x )) выполняется для всех x типа σ:

${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$

В отличие от теории множеств, аксиома выбора в теории типов обычно формулируется как схема аксиом , в которой R изменяется по всем формулам или по всем формулам определенной логической формы.

Цитаты [ править ]

Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип хорошего порядка явно неверен, и кто может сказать о лемме Цорна ?

-  Джерри Бона ^[32]

Это шутка: хотя все три математически эквивалентны, многие математики находят аксиому выбора интуитивной, принцип хорошего упорядочения - противоречащим интуиции, а лемма Цорна - слишком сложной для любой интуиции.

Аксиома выбора необходима для выбора набора из бесконечного числа пар носков, но не из бесконечного числа пар обуви.

-  Бертран Рассел ^[33]

Наблюдение здесь состоит в том, что можно определить функцию для выбора из бесконечного количества пар обуви, заявив, например, выбрать левую обувь. Без аксиомы выбора нельзя утверждать, что такая функция существует для пар носков, потому что левый и правый носки (предположительно) неотличимы.

Тарский попытался опубликовать свою теорему [эквивалентность между AC и «каждое бесконечное множество A имеет ту же мощность, что и A × A », см. Выше] в Comptes Rendus , но Фреше и Лебег отказались ее представить. Фреше писал, что импликация между двумя хорошо известными [истинными] предложениями не является новым результатом, а Лебег писал, что импликация между двумя ложными предложениями не представляет интереса.

Польско-американский математик Ян Мыцельски рассказывает об этом анекдоте в статье 2006 года в Уведомлениях AMS. ^[34]

Аксиома получила свое название не потому, что математики предпочитают ее другим аксиомам.

-  А. К. Дьюдни

Эта цитата взята из знаменитой первоапрельской статьи в колонке « Компьютерные развлечения» журнала Scientific American за апрель 1989 года.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике. Принстон, Нью-Джерси: компания van Nostrand. Zbl  0087.04403 .
• Герлих, Хорст (2006). Аксиома выбора . Конспект лекций по математике. 1876 ​​г. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-30989-5.
• Говард, Пол; Рубин, Жан Э. (1998). Последствия аксиомы выбора . Математические обзоры и монографии. 59 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 9780821809778.
• Jech, Thomas (2008) [1973]. Аксиома выбора . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Jech, Томас (1977). «Об аксиоме выбора». У Джона Барвайса (ред.). Справочник по математической логике .
• Леви, Азриэль (1958). «Независимость различных определений конечности» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 46 : 1–13. DOI : 10,4064 / фм-46-1-1-13 .
• Пер Мартин-Лёф, «100 лет аксиомы выбора Цермело: в чем была проблема?» В книге «Логицизм, интуиционизм и формализм: что из них стало?». , Стен Линдстрем, Эрик Палмгрен, Кристер Сегерберг и Вигго Столтенберг-Хансен, редакторы (2008). ISBN 1-4020-8925-2 
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
• Мур, Грегори Х. (1982). Аксиома выбора Цермело, ее происхождение, развитие и влияние . Springer . ISBN 978-0-387-90670-6., доступно как переиздание Dover Publications , 2013 г., ISBN 0-486-48841-1 . 
• Мур, Грегори Х (2013) [1982]. Избранная аксиома Цермело: ее происхождение, развитие и влияние . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Герман Рубин , Жан Э. Рубин : Эквиваленты аксиомы выбора. Северная Голландия, 1963 г. Переиздано Elsevier , апрель 1970 г. ISBN 0-7204-2225-6 . 
• Герман Рубин, Жан Э. Рубин: эквиваленты аксиомы выбора II. Северная Голландия / Эльзевир, июль 1985 г., ISBN 0-444-87708-8 . 
• Рассел, Бертран (1993) [1919]. Введение в математическую философию . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-27724-0.
• Суппес, Патрик (1972) [1960]. Аксиоматическая теория множеств . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61630-8.
• Джордж Турлакис, Лекции по логике и теории множеств. Vol. II: Теория множеств , Cambridge University Press , 2003. ISBN 0-511-06659-7 
• Цермело, Эрнст (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" (перепечатка) . Mathematische Annalen . 59 (4): 514–16. DOI : 10.1007 / BF01445300 . S2CID  124189935 .
• Эрнст Цермело , "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 : (1908) pp. 261–81. Скачать PDF через digizeitschriften.de

Перевод: Жан ван Хейеноорт , 2002. От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Новый выпуск. Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-32449-8 

• 1904. «Доказательство того, что каждый набор можно хорошо заказать», 139-41.
• 1908. "Исследования по основам теории множеств I", 199–215.

Внешние ссылки [ править ]

• Запись « Аксиома выбора» в Математической энциклопедии Спрингера .
• Axiom of Choice and Its Equivalents Запись на ProvenMath. Включает формальное утверждение аксиомы выбора, принципа максимума Хаусдорфа, леммы Цорна и формальные доказательства их эквивалентности до мельчайших деталей.
• Последствия аксиомы выбора по книге Поля Ховарда и Жана Рубина.
• Запись Джона Лейна Белла «Аксиома выбора» в Стэнфордской энциклопедии философии .