Граница (топология)

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней недостаточно соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( март 2013 г. ) ( узнайте, как и когда удалять это шаблонное сообщение )

В топологии и математике вообще граница подмножества S топологического пространства X — это множество точек замыкания S , не принадлежащих внутренности S . Элемент границы S называется граничной точкой S . Термин граничная операция относится к нахождению или взятию границы множества. Обозначения, используемые для границы множества S , включают и . Некоторые авторы (например, Уиллард в General Topology${\ displaystyle \ operatorname {bd} (S), \ operatorname {fr} (S),}$${\ Displaystyle \ частичное S}$) использовать термин граница вместо границы в попытке избежать путаницы с другим определением , используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значения терминов граница и граница, они иногда использовались для обозначения других наборов. Например, в « Метрических пространствах » Э.Т. Копсона термин «граница» используется для обозначения границы Хаусдорфа , которая определяется как пересечение множества с его границей. ^[1] Хаусдорф также ввел термин остаток , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения.^[2]

Связная компонента границы S называется граничной компонентой S .

Общие определения

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества топологического пространства , которые будут обозначаться или просто , если их понимать:${\ Displaystyle S \ подсетек Х}$${\ Displaystyle Х,}$${\ Displaystyle \ парциальное _ {X} S,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Bd} _ {X} S,}$${\ Displaystyle \ частичное S}$${\ Displaystyle Х}$

1. Это замыкание минус внутренность in : _ _ _${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle Х}$
   $${\ displaystyle \ partial S ~: = ~ {\ overline {S}} \ setminus \ operatorname {int} _ {X} S}$$

   
   где обозначает замыкание in и обозначает топологическую внутренность in _${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$
2. Это пересечение замыкания с замыканием его дополнения :${\displaystyle S}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$

   
3. Это множество точек , такое что каждая окрестность содержит по крайней мере одну точку и по крайней мере одну точку не :${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$

   

Граничная точка набора относится к любому элементу границы этого набора. Граница , определенная выше, иногда называется топологической границей множества, чтобы отличить ее от других понятий с аналогичными названиями, таких как граница многообразия с краем или граница многообразия с углами , и это лишь несколько примеров. ${\displaystyle \partial _{X}S}$

Характеристики

Замыкание множества равно объединению множества с его границей: ${\displaystyle S}$

где обозначает замыкание множества в . Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей. Граница множества замкнута ; ^[3] это следует из формулы , которая выражается как пересечение двух замкнутых подмножеств${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$${\displaystyle \partial _{X}S}$${\displaystyle X.}$

(«Трихотомия»)Для любого подмножества каждая точка лежит ровно в одном из трех множеств и говорит по-разному,${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$

и эти три множества попарно не пересекаются . Следовательно, если эти множества не пусты ^{[примечание 1]} , то они образуют разбиение множества${\displaystyle X.}$

Точка является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит хотя бы одну точку из множества и хотя бы одну точку, не принадлежащую множеству. Граница внутренней части множества, а также граница замыкания множества содержатся в границе множества. ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p}$

Концептуальная диаграмма Венна, показывающая отношения между различными точками подмножества = множество предельных точек множества граничных точек области , заштрихованной зеленым цветом = множество внутренних точек области , закрашенной желтым цветом = множество изолированных точек областей , закрашенных черным цветом = пустые множества. Каждая точка является либо внутренней точкой, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Точно так же каждая граничная точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B=}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Примеры

Характеристики и общие примеры

Граница множества равна границе дополнения множества:

Множество является плотным открытым подмножеством тогда и только тогда, когда${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

Внутренняя часть границы замкнутого множества — это пустое множество. ^{[доказательство 1]} Следовательно, внутренняя часть границы замыкания множества является пустым множеством. Внутренняя часть границы открытого множества также является пустым множеством. ^{[доказательство 2]} Следовательно, внутренняя часть границы внутренней части множества является пустым множеством. В частности, если есть замкнутое или открытое подмножество, то не существует ни одного непустого подмножества , такого, которое было бы также открытым подмножеством. Этот факт важен для определения и использования нигде не плотных подмножеств , тощих подмножеств и пространств Бэра . ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X.}$

Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно . Граница множества пуста тогда и только тогда, когда множество одновременно замкнуто и открыто (т . е. замкнуто-открытое множество ).

Конкретные примеры

Рассмотрим реальную прямую с обычной топологией (то есть с топологией, базисными наборами которой являются открытые интервалы ) и подмножеством рациональных чисел (чья топологическая внутренность пуста) . затем${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Последние два примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренностью является его замыканием. Они также показывают, что граница подмножества может содержать непустое открытое подмножество ; то есть, чтобы внутренняя часть in была непустой. Однако граница замкнутого подмножества всегда имеет пустую внутреннюю часть. ${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle X}$

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией (топологией подпространства ) граница где иррациональна, пуста.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-\infty ,a),}$${\displaystyle a}$

Граница множества является топологическим понятием и может измениться, если изменить топологию. Например, если задана обычная топология на границе замкнутого диска , это окружность, окружающая диск: Если диск рассматривается как множество со своей обычной топологией, то есть границей диска является сам диск: Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ), то граница диска пуста. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Граница открытого шара по сравнению с окружающей его сферой

Этот пример демонстрирует, что топологическая граница открытого шара радиуса не обязательно равна соответствующей сфере радиуса (с центром в той же точке); это также показывает, что замыкание открытого шара радиуса не обязательно равно замкнутому шару радиуса (опять же с центром в той же точке). Обозначим обычную евклидову метрику на${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

который индуцирует на обычной евклидовой топологии . Обозначим объединение -оси с единичной окружностью${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y:=\{0\}\times \mathbb {R} }$с центром в начале координат ; то есть, которое является топологическим подпространством , топология которого равна топологии, индуцированной (ограничением) метрики. В частности, множества и все являются замкнутыми подмножествами и, следовательно, также замкнутыми подмножествами его подпространства. Отныне, если явно не указано иное , каждый открытый шар, закрытый шар и сфера должны считаться центрированными в начале координат , и, кроме того, будет рассматриваться только метрическое пространство (а не его суперпространство ); это линейно-связное и локально линейно-связное полное метрическое пространство . ${\displaystyle \mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X:=Y\cup S^{1},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle d.}$${\displaystyle Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$ ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$

Обозначим открытый шар радиуса в через так, что когда тогда ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}}$${\displaystyle r=1}$

представляет собой открытый подинтервал оси строго между и Единичная сфера в («единица» означает, что ее радиус равен ) ${\displaystyle y}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=1.}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle r=1}$в то время как замкнутый единичный шар является объединением открытого единичного шара и единичной сферы с центром в этой же точке: ${\displaystyle (X,d)}$

Однако топологическая граница и топологическое замыкание открытого единичного шара таковы :${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}}$

В частности, топологическая граница открытого единичного шара является собственным подмножеством единичной сферы в И топологическое замыкание открытого единичного шара является правильным подмножеством замкнутого единичного шара в Точка , например, не может принадлежать, потому что не существует последовательности в том, что сходится с ним; то же рассуждение обобщается, чтобы также объяснить, почему ни одна точка вне замкнутого подинтервала не принадлежит . Поскольку топологическая граница множества всегда является подмножеством замыкания , отсюда следует, что оно также должно быть подмножеством${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}}$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$${\displaystyle (X,d).}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}}$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)}$${\displaystyle (X,d).}$${\displaystyle (1,0)\in X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}.}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,1].}$

В любом метрическом пространстве топологическая граница открытого шара радиуса с центром в точке всегда является подмножеством сферы радиуса с центром в той же точке ; то есть, ${\displaystyle (M,\rho ),}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle c\in M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$

всегда держит.

Более того, единичная сфера в содержит открытое подмножество ^{[доказательство 3]} . Это показывает, в частности, что единичная сфера в содержит непустое открытое подмножество${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X.}$

Граница границы

Для любого набора где обозначает надмножество с равенством, имеющим место тогда и только тогда, когда граница не имеет внутренних точек, что будет иметь место, например, если оно закрыто или открыто. Поскольку граница множества замкнута, для любого множества граничный оператор, таким образом, удовлетворяет ослабленному виду идемпотентности .${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$ ⊇ {\displaystyle \,\supseteq \,} ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$${\displaystyle S.}$

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, конструкция сингулярных гомологиикритически опирается на этот факт. Объяснение кажущегося несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) представляет собой несколько иное понятие, чем граница многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемого как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, а его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой окружность, окружающую диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как собственное подмножество, пуста. В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, а граница многообразия инвариантна.

Смотрите также

• См. обсуждение границы в топологическом многообразии для более подробной информации.
• Граница многообразия
• Ограничивающая точка  - математическая концепция, связанная с подмножествами векторных пространств.
• Замыкание (топология)  - все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
• Внешний вид (топология)
• Интерьер (топология)  - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Нигде плотное множество  - математическое множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.
• Теорема Лебега о плотности для теоретико-мерной характеристики и свойств границы
• Поверхность (топология)  - двумерное многообразие.

Заметки

Цитаты

использованная литература

• Манкрес, младший (2000). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, С. (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
• ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология . ISBN 978-0521598385.