В теории множеств , то дополнение из множества A , часто обозначают A с (или А ' ), [1] [2] являются элементы не в A . [3]
Когда все рассматриваемые множества считаются подмножества данного множества U , то абсолютное дополнение в A есть множество элементов U , но не в A .
Относительное дополнение в А относительно множества В , называемый также множество различий в B и A , написанный B \ , есть множество элементов в B , но не в A . [1]
Абсолютное дополнение [ править ]
Определение [ править ]
Если A - это набор, то абсолютное дополнение к A (или просто дополнение к A ) - это набор элементов, не входящих в A (в пределах большего набора, который неявно определен). Другими словами, пусть U - множество, содержащее все исследуемые элементы; если нет необходимости упоминать U , либо потому, что он был ранее определен, либо потому, что он очевиден и уникален, то абсолютное дополнение к A является относительным дополнением к A в U : [4]
- .
Или формально:
Абсолютное дополнение к A обычно обозначается A c . [1] Другие обозначения включают в себя , , [3] , и . [5]
Примеры [ править ]
- Предположим, что вселенная - это набор целых чисел . Если A - это набор нечетных чисел, то дополнение к A - это набор четных чисел. Если B - это набор, кратный 3, то дополнение к B - это набор чисел, конгруэнтных 1 или 2 по модулю 3 (или, проще говоря, целые числа, не кратные 3).
- Предположим, что Вселенная представляет собой стандартную колоду из 52 карт . Если набор A - масть пик, то дополнение к A - это объединение мастей треф, бубен и червей. Если набор B представляет собой объединение мастей треф и бубен, то дополнение B является объединением мастей червей и пиков.
Свойства [ править ]
Пусть и B два множества во вселенной U . Следующие идентичности отражают важные свойства абсолютных дополнений:
Дополняющие законы: [6]
- (это следует из эквивалентности условного выражения и его контрпозитива ).
Закон инволюции или двойного дополнения:
Отношения между относительными и абсолютными дополнениями:
Связь с установленной разницей:
Первые два закона дополняют приведенные выше , показывают , что если не является пустым, собственное подмножество из U , то { , с } представляет собой разбиение на U .
Относительное дополнение [ править ]
Определение [ править ]
Если и B являются множествами, то относительное дополнение из A в B , [6] также называют разницу набор из B и A , [7] представляет собой набор элементов в B , но не в A .
Относительное дополнение A в B обозначается B ∖ A в соответствии со стандартом ISO 31-11 . Это иногда пишется B - A , [1] , но это обозначение является неоднозначным, как и в некоторых контекстах это может быть интерпретировано как множество всех элементов Ь - , где б берется из B и из A .
Формально:
Примеры [ править ]
- .
- .
- Если - множество действительных чисел и - множество рациональных чисел , то - множество иррациональных чисел .
Свойства [ править ]
Пусть A , B и C - три множества. Следующие идентичности отражают примечательные свойства относительных дополнений:
- .
- .
- ,
- с важным частным случаем, демонстрирующим, что пересечение может быть выражено с использованием только операции относительного дополнения.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Дополнительное отношение [ править ]
Бинарное отношение R определяется как подмножество произведение множеств Х × Y . Дополняют друг друга отношение есть множество дополнение R в X × Y . Дополнение отношения R можно записать
Здесь, R часто рассматривается в качестве логической матрицы с рядами , представляющие элементы X , а столбцы элементов Y . Истина aRb соответствует 1 в строке a , столбце b . Создание дополнительного отношения к R соответствует переключению всех единиц на 0 и 0 на 1 для логической матрицы дополнения.
Вместе с составом отношений и обратных связей , взаимодополняющих отношений и алгеброй множеств являются элементарными операциями по исчислению отношений .
Обозначение LaTeX [ править ]
В языке набора LaTeX команда \setminus
[8] обычно используется для визуализации установленного символа различия, который похож на символ обратной косой черты . При рендеринге \setminus
команда выглядит идентично \backslash
, за исключением того, что у нее немного больше места перед и за косой чертой, как в последовательности LaTeX \mathbin{\backslash}
. Вариант \smallsetminus
доступен в пакете amssymb.
На языках программирования [ править ]
В некоторых языках программирования есть наборы встроенных структур данных . Такая структура данных ведет себя как конечный набор , то есть состоит из конечного числа данных, которые не упорядочены специально и, таким образом, могут рассматриваться как элементы набора. В некоторых случаях элементы не обязательно должны быть отдельными, и структура данных кодирует мультимножества, а не наборы. В этих языках программирования есть операторы или функции для вычисления дополнительных и установленных различий.
Эти операторы могут обычно применяться также к структурам данных, которые на самом деле не являются математическими наборами, такими как упорядоченные списки или массивы . Отсюда следует, что некоторые языки программирования могут иметь вызываемую функцию set_difference
, даже если у них нет никакой структуры данных для наборов.
См. Также [ править ]
- Алгебра множеств
- Пересечение (теория множеств)
- Список установленных идентичностей и отношений
- Наивная теория множеств
- Симметричная разница
- Союз (теория множеств)
Заметки [ править ]
- ^ a b c d "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 4 сентября 2020 .
- ^ «Дополнить и установить разницу» . web.mnstate.edu . Проверено 4 сентября 2020 .
- ^ a b «Дополнение (набор) Определение (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 4 сентября 2020 .
- ^ Таким образом, набор, в котором рассматривается дополнение, неявно упоминается в абсолютном дополнении и явно упоминается в относительном дополнении.
- Перейти ↑ Bourbaki 1970 , p. E II.6.
- ^ a b c Халмос 1960 , стр. 17.
- Перейти ↑ Devlin 1979 , p. 6.
- ^ [1] Полный список символов LaTeX
Ссылки [ править ]
- Бурбаки, Н. (1970). Теория ансамблей (на французском языке). Пэрис: Германн. ISBN 978-3-540-34034-8.
- Девлин, Кейт Дж. (1979). Основы современной теории множеств . Universitext. Springer . ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003 .
- Халмос, Пол Р. (1960). Теория наивных множеств . Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl 0087.04403 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Дополнение» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Дополнительный набор» . MathWorld .