Приближение Буссинеска (плавучесть)

В динамике жидкости , то приближение Буссинески ( произносится [businɛsk] , названный в Буссинеск ) используются в области плавучести привода потока (также известный как естественная конвекция ). Он игнорирует различия в плотности, за исключением тех случаев, когда они появляются в терминах, умноженных на $g$ , ускорение свободного падения . Суть приближения Буссинеска заключается в том, что разница в инерции незначительна, но сила тяжести достаточно сильна, чтобы сделать удельный вес двух жидкостей заметно различающимся. Звуковые волны невозможны / игнорируются при использовании приближения Буссинеска, поскольку звуковые волны движутся через изменения плотности.

Потоки буссинеска распространены в природе (например, атмосферные фронты , океаническая циркуляция, стоковые ветры ), в промышленности ( плотное рассеивание газа , вентиляция вытяжных шкафов) и в искусственной среде (естественная вентиляция, центральное отопление ). Приближение очень точное для многих таких потоков и упрощает математику и физику.

Приближение [ править ]

Приближение Буссинеска применяется к задачам, в которых температура жидкости меняется от одного места к другому, вызывая поток жидкости и теплопередачу . Жидкость удовлетворяет законам сохранения массы , импульса и энергии . В приближении Буссинеска изменения свойств жидкости, отличные от плотности $ρ$ , игнорируются, и плотность появляется только тогда, когда она умножается на $g$ , ускорение свободного падения. ^[1]^{: 127–128} Если $u$ - локальная скорость частицы жидкости, уравнение неразрывности для сохранения массы имеет вид ^[1]^:52

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {u} \ right) = 0.}

Если игнорировать изменения плотности, это сокращается до ^[1]^{: 128}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0.}

( 1 )

Общее выражение для сохранения количества движения несжимаемой ньютоновской жидкости ( уравнения Навье – Стокса ) имеет вид

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ left (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {u} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p + \ nu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {F},}

где $ν$ (nu) - кинематическая вязкость, а $F$ - сумма любых объемных сил, таких как сила тяжести . ^[1]^{: 59} В этом уравнении предполагается, что вариации плотности имеют фиксированную часть и другую часть, которая имеет линейную зависимость от температуры:

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} - \ alpha \ rho _ {0} (T-T_ {0}),}

где $α$ - коэффициент теплового расширения . ^[1]^{: 128–129} Приближение Буссинеска утверждает, что изменение плотности важно только в члене плавучести.

Если - гравитационная объемная сила, результирующее уравнение сохранения будет ^[1]^:¹²⁹ ${\ Displaystyle F = \ rho \ mathbf {g},}$

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla (p-\rho _{0}\mathbf {g} \cdot \mathbf {z} )+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} -\mathbf {g} \alpha (T-T_{0}).

( 2 )

В уравнении для теплового потока в температурном градиенте теплоемкость на единицу объема считается постоянной, а параметр рассеяния игнорируется. В результате получается уравнение $\rho C_{p}$

{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla T={\frac {k}{\rho C_{p}}}\nabla ^{2}T+{\frac {J}{\rho C_{p}}},

( 3 )

где $J$ - показатель внутреннего производства тепла на единицу объема, а - коэффициент теплопроводности . ^[1]^:¹²⁹ $k$

Три пронумерованных уравнения являются основными уравнениями конвекции в приближении Буссинеска.

Преимущества [ править ]

Преимущество приближения заключается в том, что при рассмотрении потока, скажем, теплой и холодной воды с плотностью $ρ 1$ и $ρ 2$ нужно учитывать только одну плотность $ρ$ : разница $Δ ρ = ρ 1 - ρ 2$ незначительна. Анализ размеров показывает ^{[ требуется пояснение ],} что в этих обстоятельствах единственный разумный способ, которым ускорение свободного падения $g$ должно входить в уравнения движения, - это приведенная сила тяжести $g ',$ где

g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho }}.

(Обратите внимание, что знаменатель может быть любой плотностью, не влияя на результат, потому что изменение будет порядка $g (Δ ρ / ρ) 2$ .) Наиболее обычно используется безразмерное число было бы число Ричардсона и число Рэлея .

Таким образом, математика потока проще, поскольку соотношение плотностей $ρ 1 / ρ 2$ , безразмерное число , не влияет на поток; приближение Буссинеска утверждает, что его можно считать равным точно единице.

Инверсии [ править ]

Одной из особенностей потоков Буссинеска является то, что они выглядят одинаково, если смотреть в перевернутом виде, при условии, что идентичности жидкостей перевернуты. Приближение Буссинеска неточно, когда безразмерная разность плотностей $Δ ρ / ρ$ имеет порядок единства.

Например, рассмотрим открытое окно в теплой комнате. Теплый воздух внутри менее плотен, чем холодный воздух снаружи, который втекает в комнату и спускается к полу. А теперь представьте обратное: холодную комнату, подверженную воздействию теплого наружного воздуха. Здесь втекающий воздух движется вверх к потолку. Если поток Буссинеска (а в остальном комната симметрична), то перевернутый взгляд на холодную комнату в точности такой же, как и на взгляд теплой комнаты по кругу. Это связано с тем, что плотность входит в проблему только через уменьшенную гравитацию $g ',$ которая претерпевает только изменение знака при переходе от потока теплой комнаты к потоку холодной комнаты.

Примером течения не Буссинеска являются пузырьки, поднимающиеся в воде. Поведение пузырьков воздуха, поднимающихся в воде, очень отличается от поведения воды, падающей в воздухе: в первом случае поднимающиеся пузырьки имеют тенденцию образовывать полусферические оболочки, а вода, падающая в воздухе, распадается на капли дождя (на малых масштабах длины проблема возникает из-за поверхностного натяжения. и смущает вопрос).

Ссылки [ править ]

^ Б с д е е г Триттон, ди - джей (1977). Физическая гидродинамика . Нью-Йорк: ISBN Van Nostrand Reinhold Co. 9789400999923.

Дальнейшее чтение [ править ]

Буссинеск, Джозеф (1897). Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes a grande section . 1 . Готье-Виллар . Проверено 10 октября 2015 года .
Кляйнштройер, Клемент (1997). Инженерная гидродинамика Междисциплинарный системный подход . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-52-101917-0.
Триттон, DJ (1988). Физическая гидродинамика (второе изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-854493-7.

[Tritton-1] Б с д е е г Триттон, ди - джей (1977). Физическая гидродинамика . Нью-Йорк: ISBN Van Nostrand Reinhold Co. 9789400999923.

[1]