Приближение Буссинеска (волны на воде)

Моделирование периодических волн над подводным мелководьем с помощью модели типа Буссинеска. Волны распространяются по подводному мелководью эллиптической формы на плоском пляже. Этот пример объединяет несколько эффектов волн и мелководья , включая рефракцию , дифракцию , мелководье и слабую нелинейность .

В гидродинамике , то приближение Буссинеска для водных волн является приближение справедливо для слабо нелинейных и довольно длинных волн . Приближение имя Джозеф Буссинеска , который первый полученный им в ответ на замечание со стороны Джона Скоттом Рассел на волне перевода (также известную как уединенная волна или солитон ). В статье Буссинеска 1872 года вводятся уравнения, ныне известные как уравнения Буссинеска . ^[1]

Приближение Буссинеска для волн на воде учитывает вертикальную структуру горизонтальной и вертикальной скорости потока . Это приводит к нелинейным уравнениям в частных производных , называемым уравнениями типа Буссинеска , которые включают частотную дисперсию (в отличие от уравнений мелкой воды , которые не являются частотно-дисперсионными). В прибрежной инженерии , уравнение Буссинески типа часто используются в компьютерных моделях для моделирования из воды волн в мелководных морях и гаванях .

В то время как приближение Буссинеска применимо к довольно длинным волнам, то есть когда длина волны велика по сравнению с глубиной воды, разложение Стокса больше подходит для коротких волн (когда длина волны того же порядка, что и глубина воды, или меньше ).

Приближение Буссинеска [ править ]

Периодические волны в приближении Буссинеска, показанные в вертикальном сечении в направлении распространения волны . Обратите внимание на плоские впадины и острые гребни из-за нелинейности волны. Этот случай (нарисованный в масштабе ) показывает волну с длиной волны, равной 39,1  м , высотой волны 1,8 м ( т. Е. Разница между высотой гребня и впадины), а средняя глубина воды составляет 5 м, а ускорение свободного падения составляет 9,81. м / с ² .

Существенная идея в приближении Буссинеска - исключение вертикальной координаты из уравнений потока при сохранении некоторых влияний вертикальной структуры потока под волнами на воде . Это полезно, потому что волны распространяются в горизонтальной плоскости и имеют другое (не волнообразное) поведение в вертикальном направлении. Часто, как и в случае с Буссинеском, интерес в первую очередь вызывает распространение волн.

Это исключение вертикальной координаты было впервые сделано Джозефом Буссинеском в 1871 году, чтобы построить приближенное решение для уединенной волны (или волны перемещения ). Впоследствии, в 1872 году, Буссинеск вывел уравнения, известные сегодня как уравнения Буссинеска.

Шаги в приближении Буссинеска:

• разложение в ряд Тейлора выполнен из горизонтальной и вертикальной скорости потока (или потенциала скорости ) вокруг определенной высоты ,
• это разложение Тейлора усекается до конечного числа членов,
• сохранение массы (см. уравнение неразрывности ) для несжимаемого потока и условие нулевой завихренности для безвихревого потока используются для замены вертикальных частных производных величин в разложении Тейлора горизонтальными частными производными .

После этого приближение Буссинеска применяется к остальным уравнениям потока, чтобы исключить зависимость от вертикальной координаты. В результате получающиеся уравнения в частных производных выражаются функциями горизонтальных координат (и времени ).

В качестве примера рассмотрим потенциальный поток через горизонтальный слой в плоскости ( x, z ), где x - горизонтальная координата, а z - вертикальная координата . Дно расположено в точке z = - h , где h - средняя глубина воды. Расширение Тейлора сделано для потенциала скорости φ (x, z, t) вокруг уровня слоя z = - h : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}$

где φ _b (x, t) - потенциал скорости на дне. Использование уравнения Лапласа для φ , справедливого для несжимаемого потока , дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}$

поскольку вертикальная скорость ∂ φ / ∂ z равна нулю в - непроницаемом - горизонтальном слое z = - h . Впоследствии этот ряд может быть сокращен до конечного числа членов.

Исходные уравнения Буссинеска [ править ]

Вывод [ править ]

Для волн на воде в несжимаемой жидкости и безвихревого течения в плоскости ( x , z ) граничные условия на возвышении свободной поверхности z = η ( x , t ) следующие: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}}$

куда:

u - горизонтальная составляющая скорости потока : u = ∂ φ / ∂ x ,

w - вертикальная составляющая скорости потока : w = ∂ φ / ∂ z ,

г является ускорение с помощью силы тяжести .

Теперь приближение Буссинеска для потенциала скорости φ , как указано выше, применяется к этим граничным условиям . Кроме того, в полученных уравнениях сохраняются только линейные и квадратичные члены по η и u _b (при u _b = ∂ φ _b / ∂ x горизонтальная скорость на дне z = - h ). Предполагается , что члены кубического и более высокого порядка пренебрежимо малы. Тогда получаются следующие уравнения в частных производных :

набор A - Буссинеска (1872 г.), уравнение (25)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Эта система уравнений была получена для плоского горизонтального слоя, т.е. средняя глубина h является постоянной величиной, не зависящей от положения x . Когда правые части приведенных выше уравнений равны нулю, они сводятся к уравнениям мелкой воды .

При некоторых дополнительных приближениях, но с тем же порядком точности, приведенное выше множество A можно свести к одному уравнению в частных производных для возвышения свободной поверхности η :

набор B - Буссинеск (1872 г.), уравнение (26)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.}$

В терминах, заключенных в скобки, важность нелинейности уравнения может быть выражена через число Урселла . В безразмерных величинах , используя глубину воды h и ускорение свободного падения g для обезразмеривания, это уравнение после нормализации имеет следующий вид : ^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,}$

с:

${\displaystyle \psi \,=\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {\eta }{h}}}$	: безразмерная отметка поверхности,
${\displaystyle \tau \,=\,{\sqrt {3}}\,t\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$	: безразмерное время, и
${\displaystyle \xi \,=\,{\sqrt {3}}\,{\frac {x}{h}}}$	: безразмерное горизонтальное положение.

Линейная частотная дисперсия [ править ]

Водные волны разной длины распространяются с разной фазовой скоростью , это явление известно как частотная дисперсия . В случае бесконечно малой амплитуды волны терминология - линейная частотная дисперсия . Частотно-дисперсионные характеристики уравнения типа Буссинеска можно использовать для определения диапазона длин волн, для которого оно является допустимым приближением .

Характеристики линейной частотной дисперсии для приведенной выше системы A уравнений следующие: ^[5]

${\displaystyle c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},}$

с:

• с с фазовой скоростью ,
• K на волновое числе ( к = 2π / λ , с Й длиной волны ).

Относительная погрешность в скорости фазы с для множества А , по сравнению с линейной теорией для водных волн , составляет менее 4% при относительном волновом числе кча <½ л . Таким образом, в инженерных приложениях набор A действителен для длин волн λ, превышающих глубину воды h в 4 раза .

Характеристики линейной частотной дисперсии уравнения B следующие: ^[5]

${\displaystyle c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).}$

Относительная ошибка в фазовой скорости для уравнения B составляет менее 4% для kh <2π / 7 , что эквивалентно длинам волн λ, превышающих глубину воды h более чем в 7 раз , называемых довольно длинными волнами . ^[6]

Для коротких волн с k ² h ² > 3 уравнение B становится физически бессмысленным, потому что больше нет действительных решений для фазовой скорости . Первоначальный набор двух дифференциальных уравнений в частных производных (Буссинеск, 1872 г., уравнение 25, см. Набор А выше) не имеет этого недостатка.

Уравнения мелкой воды имеют относительную ошибку фазовой скорости менее 4% для длин волн λ, превышающих 13-кратную глубину воды h .

Уравнения и расширения типа Буссинеска [ править ]

Существует огромное количество математических моделей, которые называют уравнениями Буссинеска. Это может легко привести к путанице, так как часто они свободно ссылается как на уравнении Буссинески, в то время как на самом деле его вариант рассматривается. Поэтому правильнее называть их уравнениями типа Буссинеска . Строго говоря, в уравнении Буссинески является вышеупомянутым набором B , так как он используется в анализе в оставшейся части его 1872 г. бумаги.

Некоторые направления, на которые были распространены уравнения Буссинеска:

• различная батиметрия ,
• улучшенная частотная дисперсия ,
• улучшенное нелинейное поведение,
• делая разложение в ряд Тейлора вокруг различных вертикальных отметок ,
• разбивая область жидкости на слои и применяя приближение Буссинеска в каждом слое отдельно,
• включение обрушения волн ,
• включение поверхностного натяжения ,
• распространение на внутренние волны на границе раздела жидких областей различной плотности ,
• вывод из вариационного принципа .

Дальнейшие приближения для одностороннего распространения волны [ править ]

Хотя уравнения Буссинеска допускают одновременное распространение волн в противоположных направлениях, часто бывает выгодно рассматривать волны, распространяющиеся только в одном направлении. При небольших дополнительных предположениях уравнения Буссинеска сводятся к:

• К уравнение для распространения волн в одном горизонтальном измерении ,
• уравнение Кадомцева-Петвиашвили для (около однонаправленных) распространения волн в двух горизонтальных размерах ,
• нелинейное уравнение Шредингера (уравнение NLS) для комплекснозначной амплитуды от узкополосных волн (медленно модулированные волны).

Помимо уединенных волновых решений, уравнение Кортевега – де Фриза также имеет периодические и точные решения, называемые кноидальными волнами . Это приближенные решения уравнения Буссинеска.

Численные модели [ править ]

Для моделирования волнового движения у берегов и гаваней существуют численные модели - как коммерческие, так и академические - с использованием уравнений типа Буссинеска. Некоторыми коммерческими примерами являются волновые модули типа Буссинеска в MIKE 21 и SMS . Некоторые из бесплатных моделей Буссинеска - это Celeris, ^[7] COULWAVE, ^[8] и FUNWAVE. ^{[9] В} большинстве численных моделей для дискретизации уравнений модели используются методы конечных разностей , конечных объемов или конечных элементов . Научные обзоры и взаимные сравнения нескольких уравнений типа Буссинеска, их численное приближение и производительность, например, Кирби (2003), Dingemans (1997 , часть 2, глава 5) и Hamm, Madsen & Peregrine (1993) .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Буссинеск, Дж. (1871). "Théorie de l'intumescence liquide, applelee onde solitaire или перевод, se propageant dans un canal rectangulaire" . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 72 : 755–759.
• Буссинеск Дж. (1872 г.). "Теория живых существ и их остатков, которые продвигаются вдоль горизонтального прямоугольного канала, сообщают о жидкостном содержании канала, вызывающем чувство жизни, пареей поверхности" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . Deuxième Série. 17 : 55–108.
• Дингеманс, MW (1997). Распространение волны по неровному дну . Продвинутая серия по океанотехнике 13 . World Scientific, Сингапур. ISBN 978-981-02-0427-3. Архивировано из оригинала на 2012-02-08 . Проверено 21 января 2008 . См. Часть 2, главу 5 .
• Hamm, L .; Madsen, PA; Перегрин, DH (1993). «Трансформация волн в прибрежной зоне: обзор». Береговая инженерия . 21 (1–3): 5–39. DOI : 10.1016 / 0378-3839 (93) 90044-9 .
• Джонсон, RS (1997). Современное введение в математическую теорию волн на воде . Кембриджские тексты по прикладной математике. 19 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59832-X.
• Кирби, JT (2003). «Модели Буссинеска и приложения для распространения прибрежных волн, процессов в зоне прибоя и течения, вызванного волнами». В Лахане, ВК (ред.). Достижения в прибрежном моделировании . Серия Elsevier Oceanography. 67 . Эльзевир. С. 1–41. ISBN 0-444-51149-0.
• Перегрин, DH (1967). «Длинные волны на пляже». Журнал гидромеханики . 27 (4): 815–827. Bibcode : 1967JFM .... 27..815P . DOI : 10.1017 / S0022112067002605 .
• Перегрин, DH (1972). «Уравнения волн на воде и стоящие за ними приближения». В Meyer, RE (ред.). Волны на пляжах и перенос наносов . Академическая пресса. С. 95–122. ISBN 0-12-493250-9.