В математике , и особенно в алгебраической геометрии , условие устойчивости Бриджеланда , определенное Томом Бриджеландом , является алгебро-геометрическим условием устойчивости, определенным для элементов триангулированной категории . Случай первоначального интереса и особое значение, когда эта производная категория является производной категории из когерентных пучков на многообразии Калаби-Яу , и эта ситуация имеет принципиальные связи с теорией струн и изучение D-бран .
Такие условия устойчивости были введены в элементарной форме Майклом Дугласом, названным-стабильность и использован для изучения BPS B-бран в теории струн. [1] Эта концепция была уточнена Бриджеландом, который категорично сформулировал эти условия устойчивости и начал свое исследование математически. [2]
Определение
Определения в этом разделе представлены так же, как в исходной статье Бриджеланда для произвольных триангулированных категорий. [2] Пустьбыть триангулированной категорией. нарезка из представляет собой набор полных аддитивных подкатегорий для каждого такой, что
- для всех , где - функтор сдвига в триангулированной категории,
- если а также а также , тогда , а также
- для каждого объекта существует конечная последовательность действительных чисел и набор треугольников
- с участием для всех .
Последнее свойство следует рассматривать как аксиоматически навязывающее существование фильтрации Хардера – Нарасимхана элементам категории.
Бриджлэнда условие устойчивости на триангулированной категории пара состоящий из нарезки и гомоморфизм групп , где это группа Гротендик из, называемый центральным зарядом , удовлетворяющим
- если тогда для некоторого строго положительного действительного числа .
Принято считать, что категория является по существу небольшим , так что совокупность всех условий устойчивости на образует набор . В хороших обстоятельствах, например, когда - производная категория когерентных пучков на комплексном многообразии , это множество фактически само по себе имеет структуру комплексного многообразия.
Бриджеланд показал, что данные условия устойчивости Бриджеланда эквивалентны заданию ограниченной t-структуры по категории и центральный заряд на сердце этой t-структуры, которая удовлетворяет вышеуказанному свойству Хардера – Нарасимхана. [2] Элементявляется пол-устойчивым (соответственно устойчивый ) по отношению к условию устойчивости если для каждого сюрприза для , у нас есть где и аналогично для .