Стабильный векторный набор

В математике , стабильные векторное расслоение является ( голоморфно или алгебраическим ) векторным расслоением , устойчивый в смысле геометрической теории инвариантной . Любое голоморфное векторное расслоение можно построить из стабильных с помощью фильтрации Хардера – Нарасимхана . Стабильные связки были определены Дэвидом Мамфордом в книге Мамфорда (1963), а позже построены Дэвидом Гизекером , Федором Богомоловым , Томасом Бриджеландом и многими другими.

Мотивация [ править ]

Одна из мотиваций для анализа стабильных векторных расслоений - их хорошее поведение в семьях. Фактически, пространства модулей стабильных векторных расслоений могут быть построены с использованием схемы Quot во многих случаях, тогда как стек векторных расслоений представляет собой стек Артина , базовым набором которого является одна точка. ${\ displaystyle \ mathbf {B} GL_ {n}}$

Вот пример семейства векторных расслоений, которые плохо вырождаются. Если тензор последовательность Эйлера из по существует точная последовательность ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} (- 1) \ to {\ mathcal {O}} \ oplus {\ mathcal {O}} \ to {\ mathcal {O}} (1) \ to 0 }$ ^[1]

который представляет ненулевой элемент в ^[2], поскольку тривиальная точная последовательность, представляющая вектор, есть $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ $0$

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

Если рассматривать семейство векторных расслоений в расширении из for , то есть короткие точные последовательности $E_{t}$ $t\cdot v$ $t\in \mathbb {A} ^{1}$

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

которые в общем имеют классы Черна , но имеют в начале координат. Такого рода скачка числовых инвариантов не происходит в пространствах модулей стабильных векторных расслоений. ^[3] $c_{1}=0,c_{2}=0$ $c_{1}=0,c_{2}=-1$

Стабильные векторные расслоения над кривыми [ править ]

Наклон из голоморфного векторного расслоения W над неособой алгебраической кривой (или над римановой поверхности ) является рациональным числом μ (w) = град ( Ш ) / Оценка ( Ш ). Пучок W является стабильным , если и только если

\mu (V)<\mu (W)

для всех собственных ненулевых подрасслоений V в W и полустабильно, если

\mu (V)\leq \mu (W)

для всех собственных ненулевых подрасслоений V из W . Неформально это говорит о том, что набор является стабильным, если он «более обширный », чем любой собственный подбандл, и нестабильный, если он содержит «более обширный» подбандл.

Если W и V - полустабильные векторные расслоения и μ (W) > μ (V) , то ненулевых отображений W → V не существует .

Мамфорд доказал, что пространство модулей стабильных расслоений заданного ранга и степени над неособой кривой является квазипроективным алгебраическим многообразием . Когомологий из пространства модулей стабильных векторных расслоений над кривым был описан Harder & Нарасимханом (1975) с использованием алгебраической геометрии над конечными полями и Атьи- & боттовской (1983) с использованием Нарасимхана-Сешадри подход .

Стабильные векторные пучки в более высоких измерениях [ править ]

Если X - гладкое проективное многообразие размерности m, а H - гиперплоское сечение , то векторное расслоение (или пучок без кручения ) W называется стабильным (или иногда стабильным по Гизекеру ), если

{\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}

для всех собственных ненулевых подрасслоений (или подпучков) V из W , где χ обозначает эйлерову характеристику алгебраического векторного расслоения и векторного расслоения V (NH) означает п -й поворот из V по H . W называется полустабильным, если указанное выше выполняется с заменой <на ≤.

Устойчивость склона [ править ]

Для расслоений на кривых устойчивость, определяемая наклонами и ростом полинома Гильберта, совпадает. В высших измерениях эти два понятия различны и имеют разные преимущества. Устойчивость по Гизекеру интерпретируется в терминах геометрической теории инвариантов , тогда как μ-стабильность имеет лучшие свойства для тензорных произведений , откатов и т. Д.

Пусть X - гладкое проективное многообразие размерности n , H - его гиперплоское сечение . Наклон векторного расслоения (или, в более общем плане кручения когерентный пучок ) Е относительно Н рациональное число определяется как

\mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}

где c ₁ - первый класс Черна . Зависимость от H в обозначениях часто опускается.

Когерентный пучок E без кручения называется μ-полустабильным, если для любого ненулевого подпучка F ⊆ E наклоны удовлетворяют неравенству μ (F) ≤ μ (E). Это μ-стабильным , если, кроме того, для любого ненулевого подпучка F ⊆ E меньшего ранга строгое неравенство μ (F) <μ (E) имеет место. Это понятие устойчивости можно назвать стабильностью на склоне, μ-стабильностью, иногда стабильностью Мамфорда или стабильностью Такемото.

Для векторного расслоения E имеет место следующая цепочка импликаций: E μ-стабильно ⇒ E стабильно ⇒ E полустабильно ⇒ E μ-полустабильно.

Фильтрация Хардера-Нарасимхана [ править ]

Пусть E векторное расслоение над гладкой проективной кривой X . Тогда существует единственная фильтрация по подрасслоениям

0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E

такие, что соответствующие градуированные компоненты F _i : = E _{i +1} / E _i являются полустабильными векторными расслоениями, а наклоны уменьшаются, μ ( F _i )> μ ( F _{i +1} ). Эта фильтрация была введена Хардером и Нарасимханом (1975) и называется фильтрацией Хардера-Нарасимхана . Два векторных расслоения с изоморфными ассоциированными градуировками называются S-эквивалентными .

На многомерных разновидностях фильтрация также всегда существует и уникальна, но связанные с ней градуированные компоненты больше не могут быть связками. Для устойчивости по Гизекеру неравенства между наклонами следует заменить неравенствами между полиномами Гильберта.

Переписка Кобаяши – Хитчина [ править ]

Теорема Нарасимхана – Сешадри утверждает, что стабильные расслоения на проективной неособой кривой - это те же самые расслоения, которые имеют проективно плоские унитарные неприводимые связности . Для получения пучков степени-проективно плоские соединения являются плоскими и , таким образом , стабильными расслоениями степени 0 соответствуют неприводимым унитарным представлениям о фундаментальных группы .

Кобаяши и Хитчин предположили аналог этого в более высоких измерениях. Это было доказано для проективных неособых поверхностей Дональдсоном (1985) , который показал, что в этом случае векторное расслоение устойчиво тогда и только тогда, когда оно имеет неприводимую связность Эрмитова – Эйнштейна .

Обобщения [ править ]

Можно обобщить (μ-) устойчивость на негладкие проективные схемы и более общие когерентные пучки, используя полином Гильберта . Пусть X - проективная схема , d - натуральное число, E - когерентный пучок на X с dim Supp ( E ) = d . Запишем многочлен Гильберта E как P _E ( m ) = Σ^d
_{я = 0}α _i ( E ) / ( i !) m ⁱ . Определим приведенный многочлен Гильберта p _E : = P _E / α _d ( E ).

Когерентный пучок E является полустабильным, если выполняются следующие два условия: ^[4]

Е является чистой размерностью D , т.е. всех связанные простых чисел из Й имеет размерность д ;
для любого собственного ненулевого подпучка F ⊆ E приведенные многочлены Гильберта удовлетворяют условию p _F ( m ) ≤ p _E ( m ) при больших m .

Пучок называется устойчивым, если при больших m выполняется строгое неравенство p _F ( m ) < p _E ( m ) .

Пусть Coh _d (X) - полная подкатегория когерентных пучков на X с носителем размерности ≤ d . Наклон объекта F в Coh _д может быть определен с помощью коэффициентов многочлена Гильберта , как если α _г ( F ) ≠ 0 и 0 в противном случае. Зависимость от D обычно опускается в обозначениях. ${\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)$ ${\hat {\mu }}_{d}$

Когерентный пучок E с называется μ-полустабильным, если выполняются следующие два условия: ^[5] $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$

кручение E имеет размерность ≤ d -2;
для любого ненулевого подобъекта F ⊆ E в фактор-категории Coh _d (X) / Coh _d-1 (X) имеем . ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$

E является μ-стабильным , если имеет место строгое неравенство для всех собственных ненулевых подобъектах E .

Обратите внимание, что Coh _d является подкатегорией Серра для любого d , поэтому фактор-категория существует. Подобъект в фактор-категории в общем случае не происходит из подпучка, но для пучков без кручения исходное определение и общее определение для d = n эквивалентны.

Есть и другие направления обобщений, например Бриджлэнд «S условие устойчивости .

Можно определить стабильные главные расслоения по аналогии со стабильными векторными расслоениями.

См. Также [ править ]

Переписка Кобаяши – Хитчина
Корлетт – Симпсон переписка
Схема котировки

Ссылки [ править ]

^ Примечаниеиз формулы присоединения канонического пучка. $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$
^ Поскольку существуют изоморфизмы ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$
^ Фальтингс, Герд. «Векторные расслоения на кривых» (PDF) . Архивировано 4 марта 2020 года (PDF) .
^ Huybrechts, Даниэль; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.2.4
^ Huybrechts, Даниэль; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.6.9

Атья, Майкл Фрэнсис ; Ботт, Рауль (1983), "Уравнения Янга-Миллса над римановыми поверхностями", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. физико - математических наук , 308 (1505): 523-615, DOI : 10.1098 / rsta.1983.0017 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 37156 , MR 0702806
Дональдсон, С.К. (1985), "Антиавтодуальные связности Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильные векторные расслоения", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 50 (1): 1–26, doi : 10.1112 / plms /s3-50.1.1 , ISSN 0024-6115 , MR 0765366
Фридман, Роберт (1998), Алгебраические поверхности и голоморфные векторные расслоения , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5, Руководство по ремонту 1600388
Сложнее, G .; Нарасимхан, МС (1975), "О группах когомологий пространств модулей векторных расслоений на кривых", Mathematische Annalen , 212 (3): 215-248, DOI : 10.1007 / BF01357141 , ISSN 0025-5831 , МР 0364254
Хайбрехтс, Даниэль ; Лен, Манфред (2010), Геометрия пространств модулей пучков , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0521134200
Мамфорд, Дэвид (1963), "Проективные инварианты проективных структур и приложений", Proc. Междунар. Congr. Математики (Стокгольм, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, стр. 526–530, MR 0175899
Мамфорд, Дэвид ; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты в математике и смежных областях (2)], 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, Руководство по ремонту 1304906 особенно приложение 5C.
Нарасимхан, MS; Сешадри, CS (1965), "Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности", Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 82, № 3, 82 (3): 540-567, DOI : 10,2307 / 1970710 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970710 , МР 0184252

[1] Примечаниеиз формулы присоединения канонического пучка. $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$

[2] Поскольку существуют изоморфизмы ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$

[3] Фальтингс, Герд. «Векторные расслоения на кривых» (PDF) . Архивировано 4 марта 2020 года (PDF) .

[4] Huybrechts, Даниэль; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.2.4

[5] Huybrechts, Даниэль; Лен, Манфред (1997). Геометрия пространств модулей пучков (PDF) . , Определение 1.6.9

[1]