Обширный линейный комплект

В математике отличительной чертой алгебраической геометрии является то, что некоторые линейные расслоения на проективном многообразии можно считать «положительными», а другие - «отрицательными» (или их смесью). Наиболее важным понятием положительности является понятие обильного линейного расслоения , хотя существует несколько связанных классов линейных расслоений. Грубо говоря, свойства положительности линейного расслоения связаны с наличием множества глобальных секций . Понимание обильных линейных расслоений на данном многообразии X сводится к пониманию различных способов отображения X в проективное пространство . Ввиду соответствия линейных пучков идивизоры (построенные из подмногообразий коразмерности -1), существует эквивалентное понятие обильного дивизора .

Более подробно, линейное расслоение называется свободным от базовых точек, если оно имеет достаточно секций, чтобы придать морфизм проективному пространству. Линия расслоение полуобилен если некоторая положительная сила этого является Basepoint свободного; полуобобильность - это своего рода «неотрицательность». Сильнее, линейное расслоение на X является очень обильным , если он имеет достаточно разделы дают замкнутое вложение (или «вложение») из X в проективное пространство. Линейный пучок вполне достаточен, если некоторой положительной мощности достаточно.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии X имеет положительную степень по каждой кривой в X . Обратное не совсем верно, но есть исправленные версии обратного, критериев полноты Накаи – Мойшезона и Клеймана.

Введение [ править ]

Откат линейного пучка и делителей гиперплоскостей [ править ]

Учитывая морфизм из схем , векторного расслоения E на Y (или в более общем случае когерентный пучок на Y ) имеет откат к X , (см Пучок модулей # операций ). Обратный вызов векторного расслоения - это векторное расслоение того же ранга. В частности, откат линейного пучка - это линейный пучок. (Вкратце, слой в точке x в X - это слой E в точке f ( x ).)${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle f ^ {*} E}$${\ displaystyle f ^ {*} E}$

Описанные в статье понятия связаны с этой конструкцией в случае морфизма в проективное пространство.

${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} ^ {n},}$

с E = O (1) линейное расслоение на проективном пространстве , глобальные сечения которого являются однородными многочленами степени 1 (то есть линейными функциями) от переменных . Линейное расслоение O (1) также может быть описано как линейное расслоение, связанное с гиперплоскостью в (поскольку нулевое множество сечения O (1) является гиперплоскостью). Если f - замкнутое погружение, например, отсюда следует, что откат - это линейное расслоение на X, связанное с сечением гиперплоскости (пересечение X с гиперплоскостью в ).${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle f ^ {*} О (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Связки линий без базовой точки [ править ]

Пусть Х являются схема над полем к (например, алгебраическое многообразие) с линейным расслоением L . (Расслоение Линия может быть также называется обратимый пучок .) Пусть бы элементы к - векторное пространство из глобальных сечений в L . Нулевое множество каждой секции является замкнутым подмножеством X ; пусть U - открытое подмножество точек, в которых хотя бы одна из них не равна нулю. Тогда эти секции определяют морфизм${\ displaystyle a_ {0}, ..., a_ {n}}$ ${\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$

${\ displaystyle f \ двоеточие U \ to \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}, \ x \ mapsto [a_ {0} (x), \ ldots, a_ {n} (x)].}$

Более подробно: для каждой точки x из U слой L над x является одномерным векторным пространством над полем вычетов k ( x ). Выбор базиса для этого слоя превращает последовательность из n +1 чисел, не все в ноль, и, следовательно, точку в проективном пространстве. При изменении выбора базиса все числа масштабируются на одну и ту же ненулевую константу, поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора.${\ Displaystyle а_ {0} (х), \ ldots, а_ {п} (х)}$

Более того, этот морфизм обладает тем свойством, что ограничение L на U изоморфно образу . ^[1]${\ displaystyle f ^ {*} О (1)}$

Базисное множество из линейного расслоения L на схеме X является пересечением нулевых множеств всех глобальных сечений L . Линейный пучок L называется свободным от базовых точек, если его базовое множество пусто. То есть для каждой точки x из X существует глобальная секция L, отличная от нуля в x . Если Х является собственно над полем к , то векторное пространство глобальных сечений имеет конечную размерность; размер называется . ^[2] Итак, линейное расслоение без базовых точек L${\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$${\ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$определяет морфизм над k , где , задаваемый выбором базиса для . Не делая выбора, это можно охарактеризовать как морфизм${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle п = час ^ {0} (X, L) -1}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$

${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ к \ mathbb {P} (H ^ {0} (X, L))}$

из X в пространство гиперплоскостей в , канонический связанном с Basepoint свободного линейного расслоения L . Этот морфизм обладает тем свойством, что L является откатом .${\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$${\ displaystyle f ^ {*} О (1)}$

Наоборот, для любого морфизма f из схемы X в проективное пространство над k линейное расслоение обратного отсчета не имеет базовых точек. Действительно, O (1) не имеет базовых точек на , потому что для каждой точки y в существует гиперплоскость, не содержащая y . Следовательно, для каждой точки x в X существует сечение s из O (1) над , которое не равно нулю в f ( x ), и откат s является глобальным сечением , которое не равно нулю в x${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle f ^ {*} О (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle f ^ {*} О (1)}$. Короче говоря, линейные расслоения без базовых точек - это в точности те, которые можно выразить как откат O (1) с помощью некоторого морфизма к проективному пространству.

Nef, глобально сгенерированный, полуобильный [ править ]

Степени линейного расслоения L на правильном кривой C над K определяются как степень делителя ( ов ) из любого ненулевых рационального сечения s из L . Коэффициенты этого дивизора положительны в точках, где s обращается в нуль, и отрицательны, где s имеет полюс. Следовательно, любое линейное расслоение L на кривой C такое, что имеет неотрицательную степень (поскольку сечения L над C , в отличие от рациональных сечений, не имеют полюсов). ^[3]${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$В частности, каждое линейное расслоение без базовых точек на кривой имеет неотрицательную степень. В результате, Basepoint свободной линейное расслоение L на любой правильной схеме X над полем NEF , а это означает , что L имеет неотрицательное степень на каждом (неприводимого) кривой в X . ^[4]

В более общем смысле , пучок Р из -модулями на схеме X называется глобально генерируется , если существует множество я глобальных сечений таким образом, что соответствующий морфизм${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

пучков сюръективно. ^[5] Линейный пакет генерируется глобально тогда и только тогда, когда он не содержит базовых точек.

Например, каждый квазикогерентный пучок на аффинной схеме порождается глобально. ^[6] Аналогично, в сложной геометрии , теорема Картана это говорит , что каждый когерентный пучок на многообразии Штейна глобально генерируется.

Линейное расслоение L на правильной схеме над полем является полуобильным, если существует положительное целое число r такое, что тензорная степень не имеет базовых точек. Полуобильное линейное расслоение является nef (по соответствующему факту для линейных расслоений без базовых точек). ^[7]${\displaystyle L^{\otimes r}}$

Очень обширные линейные пакеты [ править ]

Линейное расслоение L на собственной схеме X над полем k называется очень обильным, если оно не имеет базовых точек и связанный с ним морфизм

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

закрытое погружение. Вот . Эквивалентно, L очень обильный , если Х может быть встроен в проективное пространство некоторой размерности над к таким образом , что L является ограничением линейного расслоения O (1) X . ^[8] Последнее определение используется для определения очень обильности линейного расслоения на собственной схеме над любым коммутативным кольцом . ^[9]${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$

Название «очень обильный» было введено Александром Гротендиком в 1961 году. ^[10] Различные названия использовались ранее в контексте линейных систем делителей .

Для очень обильного линейного расслоения L на правильную схему X над полем с сопутствующим морфизмом F , степень L на кривой С в X есть степень из F ( С ) в виде кривой . Таким образом, L имеет положительную степень на каждой кривой в X (поскольку каждое подмногообразие проективного пространства имеет положительную степень). ^[11]${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Определения [ править ]

Линейное расслоение L на собственной схеме X над коммутативным кольцом R называется обильным, если существует натуральное число r такое, что тензорная степень очень обильна. ^[12] В частности, правильная схема над R имеет обильное линейное расслоение тогда и только тогда , когда он проективен над R . Обильное линейное расслоение на собственной схеме X над полем имеет положительную степень на каждой кривой в X согласно соответствующему утверждению для очень обильных линейных расслоений.${\displaystyle L^{\otimes r}}$

Картие делитель D на правильную схему X над полем к называется обильным , если соответствующее линейное расслоение O ( D ) является обильным. (Например, если X гладко над k , то дивизор Картье можно отождествить с конечной линейной комбинацией замкнутых подмногообразий коразмерности 1 в X с целыми коэффициентами.)

На произвольной схеме X , Гротендик определил линейное расслоение L , чтобы быть обильным , если Х является квазикомпактно и для каждой точки х в X есть положительный целое число г и секции таким образом, что ей не равна нуль при х , а открытой подсхеме аффинно . ^[13] Так , например, линейное расслоение тривиально вполне достаточно , если и только если Х является квазиаффинно . ^[14] Остальная часть этой статьи будет сосредоточена на изобилии правильных схем над полем.${\displaystyle s\in H^{0}(X,L^{\otimes r})}$${\displaystyle \{s\neq 0\}\subset X}$${\displaystyle O_{X}}$

Ослабление понятия «очень обширный» до «вполне достаточного» дает гибкую концепцию с широким спектром различных характеристик. Во-первых, тензорное измерение больших степеней обильного линейного пучка с любым когерентным пучком вообще дает пучок с множеством глобальных секций. Точнее, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом ) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что пучок порождается глобально для всех . При этом с может зависеть от F . ^{[15] [16]}${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$${\displaystyle r\geq s}$

Другая характеризация обильности, известная как теорема Картана - Серра - Гротендика , выражается в терминах когерентных когомологий пучков . А именно, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует такое целое число s , что

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

для всех и всех . ^{[17] [16]} В частности, большие степени обильного линейного расслоения убивают когомологии в положительных степенях. Эта импликация называется теоремой Серра об исчезновении , доказанной Жан-Пьером Серром в его статье 1955 года « Faisceaux algébriques cohérents» .${\displaystyle i>0}$${\displaystyle r\geq s}$

Примеры / Не примеры [ править ]

• Тривиальное линейное расслоение на проективном многообразии X положительной размерности не имеет базисных точек, но не обильно. В более общем смысле , для любого морфизма F от проективного многообразия X в некоторое проективное пространство над полем, расслоение Откат линии всегда Basepoint-свободно, в то время как L обилен тогда и только тогда , когда морфизм F является конечным (то есть, все слои f имеют размерность 0 или пусты). ^[18]${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• Для целого числа d пространство сечений линейного расслоения O ( d ) над является комплексным векторным пространством однородных многочленов степени d от переменных x , y . В частности, это пространство равно нулю при d <0. В самом деле, морфизм проективного пространства, задаваемый функцией O ( d ), равен${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

от

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

Это закрытое погружением , с изображениями , которые рациональной нормальной кривой степени д в . Следовательно, O ( d ) не имеет базовых точек тогда и только тогда , когда и очень обильно тогда и только тогда, когда . Отсюда следует, что O ( d ) обильно тогда и только тогда, когда .${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$${\displaystyle d\geq 0}$${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle d\geq 1}$

• Для примера , где «достаточно» и «очень обильный» различны, пусть Х гладкая проективная кривая рода 1 (AN эллиптической кривой ) над C , и пусть р комплексная точка X . Пусть О ( р ) быть связанным линейным расслоение степени 1 на X . Тогда комплексное векторное пространство глобальных секций O ( p ) имеет размерность 1, натянутую на секцию, которая обращается в нуль в точке p . ^[19] Итак, базовое геометрическое место O ( p ) равно p . С другой стороны, O(2 p ) не имеет базовых точек, а O ( dp ) очень обильно для (что дает вложение X как эллиптическую кривую степени d в ). Следовательно, O ( p ) обильно, но не очень обильно. Кроме того, O (2 p ) обильно и не имеет базовых точек, но не очень обильно; ассоциированный морфизм проективного пространства является разветвленным двойным покрытием .${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• На кривых более высокого рода имеются обильные линейные расслоения L, для которых каждое глобальное сечение равно нулю. (Но высокие кратные L имеет множество секций, по определению). Например, пусть Х гладкая плоскость квартика кривой (степени 4 в ) над C , и пусть р и д быть различными комплексными точками X . Тогда линейный комплект вполне достаточен, но имеет . ^[20]${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle L=O(2p-q)}$${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

Критерии полноты линейных связок [ править ]

Теория пересечения [ править ]

Чтобы определить, является ли данное линейное расслоение на проективном многообразии X обильным, часто наиболее полезны следующие числовые критерии (в терминах чисел пересечений). Это эквивалентно заданию вопроса, когда дивизор Картье D на X обилен, а это означает, что связанное линейное расслоение O ( D ) обильно. Число пересечений можно определить как степень ограниченного на C линейного расслоения O ( D ) . С другой стороны, для линейного расслоения L на проективном многообразии первый класс Черна${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$означает , что соответствующий Картье делитель (определенный с точностью до линейной эквивалентности), делитель любого ненулевого рационального сечения L .

На гладкой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем к , линейное расслоение L очень обильным , если и только если для всех к - рациональные точки х , у в X . ^[21] Пусть г будет родом X . По теореме Римана – Роха любое линейное расслоение степени не меньше 2 g  + 1 удовлетворяет этому условию и, следовательно, очень обильно. В результате линейное расслоение на кривой является обильным тогда и только тогда, когда оно имеет положительную степень. ^[22]${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

Например, каноническое расслоение кривой X имеет степень 2 g  - 2, поэтому оно обильно тогда и только тогда, когда . Кривые с обильным каноническим расслоением составляют важный класс; например, над комплексными числами это кривые с метрикой отрицательной кривизны . Каноническое расслоение очень обильно тогда и только тогда, когда кривая не является гиперэллиптической . ^[23]${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle g\geq 2}$

Критерий Накаи Мойшезон (названная по имени Yoshikazu Накай (1963) и Мойшезон (1964)) говорится , что линейное расслоение L на правильную схему X над полем обильно тогда и только тогда , когда для каждого ( неприводимого ) замкнутого подмногообразия Y из X ( Y не может быть точкой). ^[24] С точки зрения делителей, дивизор Картье D обилен тогда и только тогда , когда для каждого (ненульмерных) подмногообразия Y из X . Для кривой X это означает, что дивизор обилен тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень. Для${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$X - поверхность, критерий говорит, что дивизор D обилен тогда и только тогда, когда его число самопересечения положительно и каждая кривая C на X имеет .${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle D\cdot C>0}$

Критерий Клеймана [ править ]

Чтобы сформулировать критерий Клеймана (1966), пусть X - проективная схема над полем. Позвольте быть вещественным векторным пространством 1-циклов (вещественных линейных комбинаций кривых в X ) по модулю числовой эквивалентности, что означает, что два 1-цикла A и B равны в том и только в том случае, если каждое линейное расслоение имеет одинаковую степень на A и на B . По теореме Нерона – Севери вещественное векторное пространство имеет конечную размерность. Критерий Клеймана утверждает, что линейное расслоение L на X обильно тогда и только тогда, когда L${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$имеет положительную степень на каждом ненулевом элемент С в замыкании части конуса кривых СВ ( Х ) в . (Это немного сильнее, чем сказать, что L имеет положительную степень на каждой кривой.) Эквивалентно линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда его класс в двойственном векторном пространстве находится внутри nef-конуса . ^[25]${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Критерий Клеймана в общем случае не работает для правильных (а не проективных) схем X над полем, хотя он выполняется, если X гладко или, в более общем случае, Q -факториально. ^[26]

Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго nef, если оно имеет положительную степень на каждой кривой. Нагата (1959) и Дэвид Мамфорд построили линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые являются строго чистыми, но не обильными. Это показывает, что условие не может быть пропущено в критерии Накаи – Мойшезона, и необходимо использовать замыкание NE ( X ), а не NE ( X ) в критерии Клеймана. ^[27] Каждое линейное расслоение nef на поверхности имеет , как и в примерах Нагаты и Мамфорда .${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

К. С. Сешадри показал, что линейное расслоение L на собственной схеме над алгебраически замкнутым полем обильно тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число ε такое, что deg ( L | _C ) ≥ ε m ( C ) для всех (неприводимых) кривых с в X , где т ( C ) представляет собой максимум кратностей в точках с . ^[28]

Несколько характеризаций обильности в более общем случае справедливы для линейных расслоений на собственном алгебраическом пространстве над полем k . В частности, критерий Накаи-Мойшезона применим в этой общности. ^[29] Критерий Картана-Серра-Гротендик сохраняется даже в более общем случае , для надлежащего алгебраического пространства над нётеровым кольцом R . ^[30] (Если собственное алгебраическое пространство над R имеет обильное линейное расслоение, то это фактически проективная схема над R. ) Критерий Клеймана не выполняется для собственных алгебраических пространств X над полем, даже если X гладко. ^[31]

Открытость изобилия [ править ]

На проективной схеме X над полем критерий Клеймана означает, что обильность является открытым условием для класса R -дивизора ( R- линейной комбинации дивизоров Картье) в , топология которого основана на топологии действительных чисел. ( R -дивизор определяется как обильный, если его можно записать как положительную линейную комбинацию обильных дивизоров Картье. ^[32] ) Элементарный частный случай: для обильного дивизора H и любого дивизора E существует положительное вещественное число. число b , достаточное для всех действительных чисел a с абсолютным значением меньше b${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle H+aE}$. В терминах делителей с целыми коэффициентами (или линейных расслоений) это означает, что nH + E обильно для всех достаточно больших натуральных чисел n .

Полнота также является открытым условием в совершенно ином смысле, когда разнообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраической семье. А именно, пусть собственный морфизм схем, и пусть L линейное расслоение на X . Тогда множество точек y в Y таких, что L обильно на слое , открыто (в топологии Зарисского ). Сильнее, если L является обильным на одно волокно , то существует аффинная открытая окрестность U из у такие , что L является обильным на протяжении U . ^[33]${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Другие характеристики полноты Клеймана [ править ]

Клейман также доказал следующие характеристики полноты, которые можно рассматривать как промежуточные шаги между определением полноты и числовыми критериями. А именно, для линейного расслоения L на собственной схеме X над полем следующие утверждения эквивалентны: ^[34]

• L достаточно.
• Для каждого (неприводимого) подмногообразия положительной размерности, есть положительное целое число г и секцию , которая не тождественно равна нулю , но обращается в нуль в некоторой точке Y .${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• Для любого (неприводимого) подмногообразия положительной размерности голоморфные эйлеровы характеристики степеней L на Y уходят в бесконечность:${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$как .${\displaystyle r\to \infty }$

Обобщения [ править ]

Обильные векторные пакеты [ править ]

Робин Хартшорн определил векторное расслоение F на проективной схеме X над полем как обильное, если линейное расслоение на пространстве гиперплоскостей в F обильно. ^[35]${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

Некоторые свойства обильных линейных расслоений распространяются на обильные векторные расслоения. Например, векторное расслоение F является обильным тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F уничтожают когомологии когерентных пучков для всех . ^[36] Кроме того, класс Черна обильного векторного расслоения имеет положительную степень на каждом r -мерном подмногообразии X , при . ^[37]${\displaystyle H^{i}}$${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

Связки больших линий [ править ]

Полезным ослаблением обильности, особенно в бирациональной геометрии , является понятие большого линейного расслоения . Линейное расслоение L на проективном многообразии X размерности n над полем называется большим, если существует положительное действительное число a и положительное целое число такие, что для всех . Это максимально возможная скорость роста пространств сечений степеней L в том смысле, что для каждого линейного расслоения L на X существует положительное число b с для всех j > 0. ^[38]${\displaystyle j_{0}}$${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$${\displaystyle j\geq j_{0}}$${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

Есть несколько других характеристик больших линейных связок. Во-первых, линейное расслоение велико тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r такое, что рациональное отображение из X в, заданное сечениями, является бирациональным на его образ. ^[39] Кроме того, линейное расслоение L велико тогда и только тогда, когда оно имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильного линейного расслоения A и эффективного линейного расслоения B (что означает это ). ^[40] Наконец, линейное расслоение велико тогда и только тогда, когда его класс in находится внутри конуса эффективных дивизоров. ^[41]${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$${\displaystyle L^{\otimes r}}$${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

Крупность можно рассматривать как бирационально инвариантный аналог обильности. Например, если доминирующее рациональное отображение между гладкими проективными многообразиями той же размерностью, то прообраз большого расслоения на Y большой на X . (На первый взгляд откат - это только линейный пучок на открытом подмножестве X, где f - морфизм, но он распространяется однозначно на линейный пучок на всем X. ) Для обильных линейных пучков можно только сказать, что откат обильного линейного расслоения конечным морфизмом обильно. ^[18]${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Пример: Пусть X - раздутие проективной плоскости в точке над комплексными числами. Пусть H - возврат к X прямой на , и пусть E - исключительная кривая раздутия . Тогда дивизор H + E большой, но не обильный (или даже nef) на X , поскольку${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

Эта негативность также подразумевает , что базисное множество Н + Е (или любого положительного кратного) содержит кривую E . На самом деле, эта база локус равен Е .

Относительная полнота [ править ]

Учитывая квазикомпактна морфизм схем , обратимый пучок L на X называется обильным по отношению к F или ф -ample , если выполняются следующие эквивалентные условия: ^{[42] [43]}${\displaystyle f:X\to S}$

1. Для каждого открытого аффинного подмножества , сужение L на это достаточно (в обычном смысле).${\displaystyle U\subset S}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. е является квази-разделено , и есть открытое вложение , индуцированное карте примыкания :${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$.

3. Условие 2. без «открытого».

Условие 2 говорит (примерно), что X может быть открыто компактифицирован в проективную схему с (не только в правильную схему).${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

См. Также [ править ]

Общая алгебраическая геометрия [ править ]

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Многообразие Фано : многообразие, каноническое расслоение которого антиобильно.
• Большая теорема Мацусаки
• Схема деления : схема, допускающая обильное семейство линейных пучков.

Полнота сложной геометрии [ править ]

• Голоморфное векторное расслоение
• Теорема вложения Кодаиры : на компактном комплексном многообразии обильность и положительность совпадают.
• Кодаира теорема об исчезновении
• Lefschetz гиперплоскость теорема : обильный делитель в комплексном проективном многообразии X топологически похож на X .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фуджино, Осаму (2005), "О конусе Клейман-Мори", Труды Японской академии, Серия А, математических наук , 81 : 80-84, DOI : 10.3792 / pjaa.81.80 , MR  2143547
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. DOI : 10.1007 / bf02699291 . Руководство по ремонту  0217084 .
• Хартшорн, Робин (1970), Обильные Подмногообразии алгебраических многообразий , Берлин, Heidelberg: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0067839 , ISBN 978-3-540-05184-8, MR  0282977
• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
• Клейман, Стивен Л. (1966), "К численной теории обильности", Анналы математики , второй серии, Annals математики, 84 (3): 293-344, DOI : 10,2307 / 1970447 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970447 , Руководство по ремонту  0206009
• Коллар, Янош (1990), "Проективность полных модулей", Журнал дифференциальной геометрии , 32 , DOI : 10,4310 / Jdg / 1214445046 , МР  1064874
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, Руководство по ремонту  1440180
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии (2 тома) , Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1, Руководство по ремонту  2095471 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Нагаты, Масаеси (1959), "О задаче 14 Гильберта", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 81 (3): 766-772, DOI : 10,2307 / 2372927 , JSTOR  2372927 , MR  0154867

Внешние ссылки [ править ]

• Авторы проекта Stacks, проект Stacks