Номер Кэрол

Номер Кэрол является целым числом от формы или , что эквивалентно, Первые несколько номеров Carol являются: -1 , 7 , 47 , 223 , 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527 (последовательность A093112 в OEIS ). ${\ displaystyle 4 ^ {n} -2 ^ {n + 1} -1,}$${\ displaystyle (2 ^ {n} -1) ^ {2} -2.}$

Впервые числа были изучены Клетусом Эммануэлем, который назвал их в честь своей подруги Кэрол Г. Кирнон. ^{[1] [2]}

Двоичное представление

Для n > 2 двоичное представление n -го числа Кэрол состоит из n - 2 последовательных единиц, одного нуля в середине и еще n + 1 последовательных единиц, или, выражаясь алгебраически,

${\displaystyle \sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.}$

Так , например, 47 в двоичной системе 101111, 223 11011111 и т.д. Разница между 2 п -го числа Mersenne и п -го числа Кэрол . Это дает еще одно эквивалентное выражение для чисел Кэрол . Разность между N -го числа Kynea и п -го числа Carol является ( п + 2) -й степени двух .${\displaystyle 2^{n+1}}$${\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}}$

Простые числа и модульные отношения

Начиная с 7, каждое третье число Кэрол кратно 7. Таким образом, чтобы число Кэрол также было простым числом , его индекс n не может иметь форму 3 x + 2 для x > 0. Первые несколько чисел Кэрол, которые также простые числа: 7, 47, 223, 3967, 16127 (они перечислены в OEIS Слоана :  A091516 ).

7-е число Кэрол и 5-е простое число Кэрол, 16127, также является простым, если его цифры перевернуты, поэтому это наименьший эмирп Кэрол . ^[3] 12-е число Кэрол и 7-е простое число Кэрол, 16769023, также является эмиртом Кэрол. ^[4]

По состоянию на апрель 2020 ^[update]года наибольшее известное простое число Кэрол имеет индекс n = 695631, который состоит из 418812 цифр. ^{[5] [6]} Он был обнаружен Марком Роденкирхом в июле 2016 года с помощью программ CKSieve и PrimeFormGW. ^[7] Это 44-е простое число Кэрол.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Почти квадратное простое число» . MathWorld .
• Прайм запись в базе данных для Кэрол (695631)
• Кэрол и Киния Праймы
• Кэрол и Киния Прайм поиск