В математике , метод эквивалентности Картана представляет собой метод в дифференциальной геометрии для определения двух геометрических структур , являются ли то же самое с точностью до диффеоморфизма . Например, если M и N - два римановых многообразия с метриками g и h соответственно, когда существует диффеоморфизм
такой, что
- ?
Хотя ответ на этот конкретный вопрос был известен в измерении 2 Гауссу и в более высоких измерениях Кристоффелю и, возможно, Риману , Эли Картан и его интеллектуальные наследники разработали технику ответа на аналогичные вопросы для радикально различных геометрических структур. (Например, см. Алгоритм Картана – Карлхеде .)
Картан успешно применил свой метод эквивалентности ко многим таким структурам, включая проективные структуры , CR-структуры и сложные структуры , а также якобы негеометрические структуры, такие как эквивалентность лагранжианов и обыкновенных дифференциальных уравнений . (Его техники позже были более полно развиты многими другими, такими как Д. К. Спенсер и Шиинг-Шен Черн .)
Метод эквивалентности - это, по сути, алгоритмическая процедура определения идентичности двух геометрических структур. Для Картана первичная геометрическая информация была выражена в coframe или совокупности coframe на дифференцируемом многообразии . См. Способ перемещения кадров .
Обзор
В частности, предположим , что М и N представляют собой пару коллекторов каждый из которых несет G-структуру для структурной группы G . Это равнозначно дает специальный класс кореперов на М и N . Картана метод рассматривается вопрос о том, существует ли локальный диффеоморфизм ф: М → N , при котором G -структурах на N отодвигается к данному G -структуре на М . Проблема эквивалентности была «решена», если можно было дать полный набор структурных инвариантов для G -структуры: это означает, что такой диффеоморфизм существует тогда и только тогда, когда все структурные инварианты согласуются в подходящем смысле.
Явно локальные системы одноформ θ i и γ i заданы на M и N соответственно, которые охватывают соответствующие кокасательные расслоения (т. Е. Являются корамлами ). Возникает вопрос, существует ли такой локальный диффеоморфизм φ: M → N , что для обратного образа корепера на N выполняется
- (1)
где коэффициент г является функцией на М , принимающие значения в группе Ли G . Например, если M и N - римановы многообразия, то G = O ( n ) - ортогональная группа, а θ i и γ i - ортонормированные кофреймы M и N соответственно. Тогда вопрос о том, изометричны ли два римановых многообразия, сводится к вопросу о том, существует ли диффеоморфизм φ, удовлетворяющий (1).
Первым шагом в методе Картана является выражение отношения отката (1) как можно более инвариантным способом посредством использования « продолжения ». Наиболее экономичный способ сделать это - использовать G- подгруппу PM основного набора линейных кофреймов LM , хотя этот подход может привести к ненужным сложностям при выполнении фактических расчетов. В частности, далее в этой статье используется другой подход. Но для целей обзора удобно придерживаться основной точки зрения на связку.
Второй шаг - использовать инвариантность диффеоморфизма внешней производной, чтобы попытаться изолировать любые другие инварианты более высокого порядка G -структуры. В основном получается связность в главном расслоении PM с некоторым кручением. Компоненты связности и кручения рассматриваются как инварианты задачи.
Третий шаг заключается в том, что если оставшиеся коэффициенты кручения не являются постоянными в волокнах основного пучка PM , часто можно (хотя иногда и сложно) нормализовать их, установив их равными удобному постоянному значению и решив эти уравнения нормализации, тем самым уменьшая эффективную размерность группы Ли G . Если это происходит, человек возвращается к первому шагу, и теперь у него есть группа Ли одного более низкого измерения, с которой можно работать.
Четвертый шаг
Основная цель первых трех шагов заключалась в том, чтобы максимально сократить саму структурную группу. Предположим, что проблема эквивалентности проходила цикл столько раз, что дальнейшее сокращение невозможно. На данный момент существуют различные возможные направления, в которых ведет метод эквивалентности. Для большинства проблем эквивалентности существует только четыре случая: полная редукция, инволюция, продолжение и вырождение.
Полное сокращение. Здесь структурная группа полностью сведена к тривиальной группе . Теперь проблема может быть решена такими методами, как теорема Фробениуса . Другими словами, алгоритм успешно завершился.
С другой стороны, возможно, что коэффициенты кручения постоянны на волокнах из ПМ . Эквивалентно, они больше не зависят от группы Ли G, потому что нечего нормализовать, хотя некоторое кручение все еще может быть. Три оставшихся случая предполагают это.
Инволюция. Проблема эквивалентности называется инволютивной (или инволюционной ), если она проходит тест Картана . По сути, это ранговое условие для связи, полученной на первых трех шагах процедуры. Тест Картана обобщает теорему Фробениуса о разрешимости линейных систем первого порядка дифференциальных уравнений в частных производных. Если кофреймы на M и N (полученные тщательным применением первых трех шагов алгоритма) согласуются и удовлетворяют критерию Картана, то две G-структуры эквивалентны. (На самом деле, насколько известно автору, для этого кофреймы должны быть реально аналитическими , поскольку теорема Картана-Келера требует аналитичности.)
Продление. Это самый запутанный случай. На самом деле есть два подслучая. В первом подслучае все скручивание может однозначно поглощаться соединительной формой. (Римановы многообразия являются примером, поскольку связность Леви-Чивиты поглощает все кручение). Коэффициенты связности и их инвариантные производные образуют полный набор инвариантов структуры, и проблема эквивалентности решается. Однако во втором подслучае либо невозможно поглотить все кручение, либо имеется некоторая неоднозначность (как это часто бывает , например, в случае исключения Гаусса ). Здесь, как и в случае исключения Гаусса, появляются дополнительные параметры при попытке поглотить кручение. Эти параметры сами по себе оказываются дополнительными инвариантами задачи, поэтому структурная группа G должна быть продолжена в подгруппу группы джетов . Как только это будет сделано, на удлиненном пространстве будет получен новый кофрейм, и придется вернуться к первому шагу метода эквивалентности. (См. Также продолжение G-структур .)
Вырождение. Из-за неоднородности некоторого условия ранга метод эквивалентности не может справиться с этой конкретной проблемой эквивалентности. Например, рассмотрим проблему эквивалентности отображения многообразия M с одной одноформой θ на другое многообразие с одной одноформой γ такое, что φ * γ = θ. Необходимо учитывать нули этих единичных форм, а также ранг их внешних производных в каждой точке. Метод эквивалентности может справиться с такими проблемами, если все ранги одинаковы, но он не всегда подходит, если ранг меняется. Конечно, в зависимости от конкретного приложения большой объем информации все же можно получить с помощью метода эквивалентности.
Рекомендации
- Олвер, П.Дж. (1995). Эквивалентность, инварианты и симметрия . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-521-47811-1.