Принцип аргумента
В комплексном анализе принцип аргумента (или принцип аргумента Коши ) связывает разницу между количеством нулей и полюсов мероморфной функции с контурным интегралом логарифмической производной функции .
В частности, если f ( z ) мероморфная функция внутри и на некотором замкнутом контуре C и f не имеет ни нулей, ни полюсов на C , то
где Z и P обозначают соответственно количество нулей и полюсов функции f ( z ) внутри контура C , причем каждый нуль и полюс учитываются столько раз, сколько указывают его кратность и порядок соответственно. В этом утверждении теоремы предполагается, что контур С простой, т. е. не имеет самопересечений, и ориентирован против часовой стрелки.
В более общем случае предположим, что f ( z ) — мероморфная функция на открытом множестве Ω на комплексной плоскости и что C — замкнутая кривая в Ω, которая избегает всех нулей и полюсов f и стягивается в точку внутри Ω. Для каждой точки z ∈ Ω пусть n ( C , z ) будет числом оборотов C вокруг z . затем
где первое суммирование ведется по всем нулям a функции f с учетом их кратностей, а второе суммирование ведется по полюсам b функции f с учетом их порядков.
Контурный интеграл можно интерпретировать как 2π i , умноженное на число витков пути f ( C ) вокруг начала координат, используя замену w = f ( z ):
