Фиксированная точка изометрии группы является точкой , которая является неподвижной точкой для каждой изометрии в группе. Для любой группы изометрий в евклидовом пространстве множество неподвижных точек либо пусто, либо является аффинным пространством .
Для объекта любой уникальный центр и, в более общем смысле, любая точка с уникальными свойствами по отношению к объекту является фиксированной точкой его группы симметрии .
В частности, это относится к центроиду фигуры, если он существует. В случае физического тела, если для симметрии учитывается не только форма, но и плотность, это относится к центру масс .
Если набор фиксированных точек группы симметрии объекта является одноэлементным, то объект имеет определенный центр симметрии . Центроид и центр масс, если они определены, являются этой точкой. Другое значение «центра симметрии» - это точка, относительно которой применяется инверсионная симметрия. Такая точка не обязательно должна быть уникальной; в противном случае существует трансляционная симметрия , следовательно, таких точек бесконечно много. С другой стороны, в случаях, например, симметрии C 3h и D 2 имеется центр симметрии в первом смысле, но нет инверсии.
Если группа симметрии объекта не имеет фиксированных точек, то объект бесконечен, а его центроид и центр масс не определены.
Если набор фиксированных точек группы симметрии объекта представляет собой линию или плоскость, тогда центроид и центр масс объекта, если они определены, и любая другая точка, которая имеет уникальные свойства по отношению к объекту, находятся на этой линии. или самолет.
1D
- Линия
- Только тривиальная группа изометрий оставляет неподвижной всю прямую.
- Точка
- Группы, порожденные отражением, оставляют точку неподвижной.
2D
- Самолет
- Только тривиальная группа изометрий C 1 оставляет неподвижной всю плоскость.
- Линия
- C s относительно любой линии оставляет эту линию фиксированной.
- Точка
- В точечных группах в двух измерений по отношению к любой точке отпускам , что точки фиксированным.
3D
- Космос
- Только тривиальная группа изометрий C 1 оставляет на месте все пространство.
- Самолет
- C s относительно плоскости оставляет эту плоскость неподвижной.
- Линия
- Группы изометрий, оставляющие фиксированную линию, представляют собой изометрии, которые в каждой плоскости, перпендикулярной этой линии, имеют общие двухмерные точечные группы в двух измерениях относительно точки пересечения линии и плоскостей.
- C n ( n > 1) и C nv ( n > 1)
- цилиндрическая симметрия без отражательной симметрии в плоскости, перпендикулярной оси
- случаи, в которых группа симметрии является бесконечным подмножеством группы симметрии цилиндрической
- Точка
- Все остальные группы точек в трех измерениях
- Нет фиксированных точек
- Группа изометрии содержит переводы или винтовые операции.
Произвольное измерение
- Точка
- Одним из примеров группы изометрии, применяемой в каждом измерении, является группа, созданная инверсией в точке. N-мерный параллелепипед является примером объекта, инвариантного при такой инверсии.
Рекомендации
Славик В. Джаблан, Симметрия, орнамент и модульность , том 30 серии K&E по узлам и всему остальному, World Scientific, 2002. ISBN 9812380809