Гипотеза Черна о гиперповерхностях в сферах , не решенная на 2018 год, является гипотезой, предложенной Черном в области дифференциальной геометрии . Это происходит из-за безответного вопроса Черна:
Рассмотрим замкнутые минимальные подмногообразия погруженный в единичную сферу со второй основной формой постоянной длины, квадрат которой обозначается. Набор значений длядискретный? Какова нижняя грань этих значений?
Первый вопрос, т. Е. Является ли набор значений σ дискретным, можно переформулировать следующим образом:
Позволять - замкнутое минимальное подмногообразие в со второй основной формой постоянной длины, обозначим через набор всех возможных значений квадрата длины второй фундаментальной формы , является дискретный?
Его утвердительное стороны, более общий , чем гипотеза Черна для гиперповерхности, иногда также называют в гипотезе Черна и по - прежнему, как и в 2018 году, без ответа , даже с М как гиперповерхности (Черна предложил этот частный случай к Яу Шинтуну «с список открытых проблем дифференциальной геометрии 1982 г.):
Рассмотрим множество всех компактных минимальных гиперповерхностей вс постоянной скалярной кривизной. Думайте о скалярной кривизне как о функции на этом множестве. Является ли образ этой функции дискретным набором положительных чисел?
Альтернативно сформулированы:
Рассмотрим замкнутые минимальные гиперповерхности с постоянной скалярной кривизной . Тогда для каждого набор всех возможных значений для (или эквивалентно ) дискретна
Это стало известно как гипотеза Черна для минимальных гиперповерхностей в сфере (или гипотеза Черна для минимальных гиперповерхностей в сфере ).
Этот случай гиперповерхностей был позже, благодаря прогрессу в исследованиях изопараметрических гиперповерхностей, получил новую формулировку, теперь известную как гипотеза Черна для изопараметрических гиперповерхностей в сферах (или гипотеза Черна для изопараметрических гиперповерхностей в сфере ):
Позволять - замкнутая минимально погруженная гиперповерхность единичной сферы с постоянной скалярной кривизной. потом изопараметрический
Здесь, относится к (n + 1) -мерной сфере, а n ≥ 2.
В 2008 году Чжицинь Лу предложил гипотезу, аналогичную гипотезе Черна, но с взят вместо :
Позволять - замкнутое минимально погруженное подмногообразие в единичной сфере с постоянным . Если, то существует постоянная такой, что
Здесь, обозначает n-мерное минимальное подмногообразие; обозначает второе по величине собственное значение полуположительной симметричной матрицы где s () Являются операторами формы из относительно заданного (локального) нормального ортонормированного репера. можно переписать как .
Еще одно родственное предположение было предложено Робертом Брайантом (математиком) :
Кусок минимальной гиперсферы с постоянной скалярной кривизной изопараметрическая типа
Альтернативно сформулированы:
Позволять - минимальная гиперповерхность постоянной скалярной кривизны. потом изопараметрический
Гипотезы Черна иерархически
Выложенные иерархически и сформулированные в едином стиле, предположения Черна (без домыслов Лу и Брайанта) могут выглядеть так:
- Первая версия (гипотеза минимальных гиперповерхностей):
Позволять - компактная минимальная гиперповерхность в единичной сфере . Если имеет постоянную скалярную кривизну, то возможные значения скалярной кривизны образуют дискретный набор
- Уточненная / более сильная версия (гипотеза изопараметрических гиперповерхностей) гипотезы та же самая, но с частью «если» заменяется на это:
Если имеет постоянную скалярную кривизну, то изопараметрический
- Самая сильная версия заменяет часть «если» на:
Обозначим через квадрат длины второй основной формы . Набор, для . Тогда у нас есть:
- Для любых фиксированных , если , тогда изопараметрический, и или же
- Если , тогда изопараметрический, и
Или альтернативно:
Обозначим через квадрат длины второй основной формы . Набор, для . Тогда у нас есть:
- Для любых фиксированных , если , тогда изопараметрический, и или же
- Если , тогда изопараметрический, и
Следует обратить внимание на так называемые проблемы первого и второго защемления как на особые детали для Черна.
Помимо предположений Лу и Брайанта, есть и другие:
В 1983 году Чиа-Куэй Пенг и Чу-Лянь Тернг предложили проблему, связанную с Черном:
Позволять быть -мерная замкнутая минимальная гиперповерхность в . Существует ли положительная постоянная в зависимости только от так что если , тогда , т.е. один из торов Клиффорда ?
В 2017 году Ли Лэй, Хунвэй Сюй и Чжиюань Сюй предложили две проблемы, связанные с Черном.
Первый был вдохновлен гипотезой Яу о первом собственном значении :
Позволять быть -мерная компактная минимальная гиперповерхность в . Обозначим черезпервое собственное значение от оператора Лапласа на функциях над:
- Можно ли доказать, что если имеет постоянную скалярную кривизну, то ?
- Набор . Можно ли доказать, что если для некоторых , или же , тогда ?
Вторая - их собственная обобщенная гипотеза Черна для гиперповерхностей с постоянной средней кривизной :
Позволять - замкнутая гиперповерхность с постоянной средней кривизной в единичной сфере :
- Предположить, что , где а также . Можно ли доказать, что или же , а также является изопараметрической гиперповерхностью в ?
- Предположим, что , где . Можно ли показать, что, а также является изопараметрической гиперповерхностью в ?
Источники
- С. С. Черн, Минимальные подмногообразия в римановом многообразии, ( мимеография в 1968 г.), Технический отчет 19 Департамента математики (новая серия), Канзасский университет , 1968 г.
- С. С. Черн, Краткий обзор минимальных подмногообразий, Differentialgeometrie im Großen, том 4 (1971), Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach , стр. 43–60
- С. С. Черн, М. ду Карму и С. Кобаяши, Минимальные подмногообразия сферы со второй фундаментальной формой постоянной длины, Функциональный анализ и связанные области: Материалы конференции в честь профессора Маршалла Стоуна , состоявшейся в Чикагском университете , май 1968 (1970), Springer-Verlag , стр. 59-75.
- С. Т. Яу, Семинар по дифференциальной геометрии (Анналы математических исследований, том 102), Princeton University Press (1982), стр. 669–706, проблема 105
- Л. Верстрален, Секционная кривизна минимальных подмногообразий, Труды семинара по дифференциальной геометрии (1986), Саутгемптонский университет , стр. 48–62
- М. Шерфнер и С. Вайс, К доказательству гипотезы Черна для изопараметрических гиперповерхностей в сферах, Süddeutsches Kolloquium über Differentialgeometrie, том 33 (2008), Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, Technische Universität Wien , стр. 1–13
- З. Лу, Гипотеза о нормальной скалярной кривизне и ее приложения, Журнал функционального анализа, том 261 (2011), стр. 1284–1308
- Лу, Чжицинь (2011). «Гипотеза о нормальной скалярной кривизне и ее приложения». arXiv : 0803.0502v3 [ math.DG ].
- CK Peng, CL Terng, Минимальные гиперповерхности сферы с постоянной скалярной кривизной, Annals of Mathematics Studies, том 103 (1983), стр. 177–198
- Лей, Ли; Сюй, Хунвэй; Сюй, Чжиюань (2017). «О гипотезе Черна для минимальных гиперповерхностей в сферах». arXiv : 1712.01175 [ math.DG ].