В математике гипотеза Яу о первом собственном значении по состоянию на 2018 год является нерешенной гипотезой, предложенной Шинг-Тунг Яу в 1982 году.
Верно ли , что первое собственное значение для оператора Лапласа-Бельтрами на встроенной минимальной гиперповерхности является ?
Если это так, это будет означать, что площадь вложенных минимальных гиперповерхностей вбудет иметь верхнюю границу, зависящую только от рода .
Вот некоторые возможные переформулировки:
Первое собственное значение каждой замкнутой вложенной минимальной гиперповерхности в единичной сфере (1) есть
Первое собственное значение вложенной компактной минимальной гиперповерхностистандартной ( n + 1) -сферы с секционной кривизной 1 равна
Если - единичная ( n + 1) -сфера со стандартной круглой метрикой, то первое собственное значение лапласиана на замкнутой вложенной минимальной гиперповерхности является
Гипотеза Яу проверена для нескольких частных случаев, но в целом остается открытой.
Шиинг-Шен Черн предположил, что замкнутая минимально погруженная гиперповерхность вУравнение (1), вторая основная форма которого имеет постоянную длину, изопараметрическое. Если бы это было так, это бы установило гипотезу Яу для минимальной гиперповерхности, вторая фундаментальная форма которой имеет постоянную длину.
Возможное обобщение гипотезы Яу:
Позволять - замкнутое минимальное подмногообразие в единичной сфере (1) с размером из удовлетворение . Верно ли, что первое собственное значение является ?
дальнейшее чтение
- Яу, СТ (1982). Семинар по дифференциальной геометрии . Анналы математических исследований. 102 . Издательство Принстонского университета . С. 669–706. ISBN 0-691-08268-5. (Проблема 100)
- Ge, J .; Тан, З. (2012). "Гипотеза Черна и изопараметрические гиперповерхности". Дифференциальная геометрия: Под влиянием С.С. Черн . Пекин: Пресса о высшем образовании . ISBN 978-1-57146-249-7.
- Tang, Z .; Ян, В. (2013). "Изопараметрическое слоение и гипотеза Яу о первом собственном значении". Журнал дифференциальной геометрии . 94 (3): 521–540. arXiv : 1201.0666 . DOI : 10.4310 / JDG / 1370979337 .