собственное значение Дирихле
В математике собственные значения Дирихле — это основные режимы вибрации идеализированного барабана заданной формы . Проблема того, можно ли услышать форму барабана , заключается в следующем: учитывая собственные значения Дирихле, какие особенности формы барабана можно вывести. Здесь «барабан» понимается как эластичная мембрана Ω, которая представляется плоской областью с фиксированной границей. Собственные значения Дирихле находятся путем решения следующей задачи для неизвестной функции u ≠ 0 и собственного значения λ
Краевая задача ( 1 ) является задачей Дирихле для уравнения Гельмгольца , поэтому λ известно как собственное значение Дирихле для Ω. Собственные значения Дирихле противопоставляются собственным значениям Неймана : собственные значения для соответствующей задачи Неймана . Оператор Лапласа ∆, появляющийся в ( 1 ), часто называют лапласианом Дирихле , когда он считается принимающим только функции u , удовлетворяющие граничному условию Дирихле. В более общем случае в спектральной геометрии ( 1 ) рассматривается на многообразии с краемОм. Тогда в качестве Δ принимается оператор Лапласа–Бельтрами , также с краевыми условиями Дирихле.
Можно показать, используя спектральную теорему для компактных самосопряженных операторов , что собственные пространства конечномерны и что собственные значения Дирихле λ вещественны, положительны и не имеют предельной точки . Таким образом, их можно расположить в порядке возрастания:
где каждое собственное значение считается в соответствии с его геометрической кратностью. Собственные пространства ортогональны в пространстве интегрируемых с квадратом функций и состоят из гладких функций . На самом деле лапласиан Дирихле имеет непрерывное продолжение до оператора из пространства Соболева в . Этот оператор обратим, а обратный к нему компактен и самосопряжен, так что можно применить обычную спектральную теорему для получения собственных пространств оператора ∆ и обратных величин 1/λ его собственных значений.
Одним из основных инструментов в изучении собственных значений Дирихле является принцип максимума- минимума : первое собственное значение λ 1 минимизирует энергию Дирихле . А именно,
инфимум берется по всем u с компактным носителем , которые не тождественно равны нулю в Ω. По аргументу плотности этот инфимум согласуется с ненулевым . Кроме того, используя результаты вариационного исчисления, аналогичные теореме Лакса–Мильграма , можно показать, что минимизатор существует в . В более общем случае
