Чау-группа стека

В алгебраической геометрии группа Чоу стека является обобщением группы Чоу разновидности или схемы на стеки . Для стека фактора , группа Чжоу X является таким же , как G - эквивариантный Chow группа из Y .${\ Displaystyle X = [Y / G]}$

Ключевое отличие от теории групп Чжоу многообразия состоит в том, что цикл может нести нетривиальные автоморфизмы, и, следовательно, операции теории пересечений должны учитывать это. Например, степень 0-цикла в стеке не обязательно должна быть целым числом, но должна быть рациональным числом (из-за нетривиальных стабилизаторов).

Определения [ править ]

Анджело Вистоли ( 1989 ) развивает основную теорию (в основном над Q ) для группы Чоу (разделенной) стопки Делиня – Мамфорда . В нем группа Чжоу определяется точно так же, как в классическом случае: это свободная абелева группа, порожденная целыми замкнутыми подзапорами по модулю рациональной эквивалентности.

Если стек X может быть записано в виде стека фактора для некоторого квазипроективного многообразия Y с линеаризованным действием линейной алгебраической группы G , то группа Chow из X определяется как G - эквивариантный Chow группа из Y . Этот подход представлен и разработан Дэном Эдидином и Уильямом А. Грэхемом, а также Бертом Тотаро . Эндрю Креш ( 1999 ) позже распространил теорию на стек, допускающий стратификацию по частным стекам.${\ Displaystyle X = [Y / G]}$

Для более высоких групп Чоу (предшественников мотивационных гомологий ) алгебраических стеков см. Теорию пересечения стека Роя Джошуа: I и II. [1]

Примеры [ править ]

Расчеты зависят от определений. Таким образом, здесь мы действуем как-то аксиоматично. В частности, мы предполагаем: задан алгебраический стек X локально конечного типа над базовым полем k ,

1. (гомотопическая инвариантность), если E - векторное расслоение ранга n на X , то .${\ Displaystyle A_ {p} (E) = A_ {pn} (X)}$
2. для каждого интегрального substack Z размерности < р , , следствие последовательности локализации.${\ Displaystyle A_ {p} (XZ) = A_ {p} (X)}$

Эти свойства действительны, если X есть Делин-Мамфорд, и ожидается, что они будут выполняться для любой другой разумной теории.

Мы принимаем X , чтобы быть стек классификации , стек основной G -расслоений для гладкого линейной алгебраической группы G . По определению, это стек частных , где * рассматривается как стек, связанный с * = Spec k . Приближаем его следующим образом. Для целого числа p выберите такое представление , что существует G -инвариантное открытое подмножество U в V, на котором G действует свободно, а дополнение имеет коразмерность . Позвольте быть частным по действию . Обратите внимание: действие бесплатное, как и векторное расслоение над${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle [* / G]}$${\ Displaystyle G \ в GL (V)}$${\ displaystyle Z = VU}$${\ displaystyle> - \ operatorname {dim} Gp}$${\ displaystyle * \ times _ {G} V}$${\ displaystyle * \ times G}$${\displaystyle (x,v)\cdot g=(xg,g^{-1}v)}$${\displaystyle *\times _{G}V}$${\displaystyle BG}$. По свойству 1, примененному к этому векторному расслоению,

${\displaystyle A_{p}(BG)=A_{p+\dim V}(*\times _{G}V).}$

Тогда, поскольку по свойству 2,${\displaystyle *\times _{G}U=U/G}$

${\displaystyle A_{p+\dim V}(*\times _{G}V)=A_{p+\dim V}(U/G)}$

с тех пор .${\displaystyle \dim[Z/G]=\dim Z-\dim G<\dim V+p}$

В качестве конкретного примера позвольте ему действовать путем масштабирования. Потом действует свободно дальше . Согласно вышеприведенному вычислению для каждой пары целых чисел n , p, таких что ,${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle U=\mathbb {A} ^{n}-\{0\}}$${\displaystyle n+p\geq 0}$

${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=A_{p+n}(\mathbb {P} ^{n-1}).}$

В частности, для любого целого p ≥ 0 . В общем, для класса гиперплоскости ч , к -кратному самопересечению и для отрицательных к и так${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=0}$${\displaystyle A_{n-k}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Q} h^{k}}$${\displaystyle h^{k}}$ ${\displaystyle h^{k}=0}$

${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} h^{-1-p}}$

где правая часть не зависит от моделей , используемых при расчете (с различной ч ' соответствует сек под выступами между проективными пространствами.) Для , класс , любой п , можно рассматривать в качестве фундаментального класса .${\displaystyle p=-1=\dim B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle h^{0}=[\mathbb {P} ^{n}]}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$

Аналогично имеем

${\displaystyle A^{*}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} [c]}$

где - первый класс Черна пространства h (причем c и h отождествляются, когда группы Чжоу и кольца Чжоу проективных пространств отождествляются). Так как у нас есть свободный -модуль, порожденный .${\displaystyle c=c_{1}(h)}$${\displaystyle h^{k}=c\cdot h^{k-1}}$${\displaystyle A_{*}(B\mathbb {G} _{m})}$${\displaystyle \mathbb {Q} [c]}$${\displaystyle h^{0}}$

Виртуальный фундаментальный класс [ править ]

Это понятие берет начало в теории Кураниши в симплектической геометрии . ^{[1] [2]}

В п 2. из Беренд (2009) , учитывая стек УЮ Х и С _Й характеристическим нормальным конусом к X , К. Бехренд определяет виртуальный фундаментальный класс из X в качестве

${\displaystyle [X]^{\text{vir}}=s_{0}^{!}[C_{X}]}$

где s ₀ - нулевое сечение конуса, определяемое идеальной теорией препятствий, а s ₀ ^! - это уточненный гомоморфизм Гизина, определенный так же, как в «Теории пересечений» Фултона. В той же работе показано , что степень этого класса, морально интегрирование по ней, равно взвешенному Эйлеру характеристике функции Берндт из X .

Более поздние (примерно 2017 г.) подходы делают этот тип построения в контексте производной алгебраической геометрии . ^[3]

См. Также [ править ]

• Идеальная теория препятствий
• Инвариант Громова – Виттена.
• Когомологии стека

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Беренд, Кай (2009), «Инварианты типа Дональдсона-Томаса через микролокальную геометрию», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 170 (3): 1307–1338, arXiv : math / 0507523 , doi : 10.4007 / annals.2009.170.1307 , Руководство по ремонту  2600874
• Чокан-Фонтанин, Ионух; Капранов, Михаил (2009). «Виртуальные фундаментальные классы через dg – многообразия». Геометрия и топология . 13 (3): 1779–1804. arXiv : math / 0703214 . DOI : 10,2140 / gt.2009.13.1779 . Руководство по ремонту  2496057 .
• Фантечи, Барбара, Виртуальные откаты на алгебраических стеках (PDF)
• Креш, Эндрю (1999), «Группы циклов для стеков Артина», Inventiones Mathematicae , 138 (3): 495–536, arXiv : math / 9810166 , Bibcode : 1999InMat.138..495K , doi : 10.1007 / s002220050351
• Тотаро, Берт (1999), "Кольцо Чоу классифицирующего пространства, алгебраическая K-теория", Proc. Симпози. Чистая математика , 67 , Американское математическое общество, стр. 249–281, MR  1743244 , Zbl  0967.14005
• Вистоли, Анджело (1989), "Теория пересечений алгебраических стеков и их пространств модулей", Inventiones Mathematicae , 97 (3): 613–670, Bibcode : 1989InMat..97..613V , doi : 10.1007 / BF01388892 , MR  1005008
• Набиджу, Навид (2015), Виртуальные фундаментальные классы в теории Громова-Виттена (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2017 г. , получено 20 июля 2017 г.
• Шен, Цзюньлян (2014 г.), Построение виртуального фундаментального класса и приложений (PDF)

Внешние ссылки [ править ]

• Классическое число 2875 прямых на квинтике как DT-инвариант
• В чем основная ошибка в использовании группы Naive Chow в Artin Stack?
• Локальная модель виртуального фундаментального цикла
• https://ncatlab.org/nlab/show/virtual+fundamental+class
• О виртуальном фундаментальном классе - слайд Кая Беренда