Структура Кураниши

В математике, особенно в топологии , структура Кураниши является гладким аналогом структуры схемы . Если топологическое пространство наделено структурой Кураниши, то локально оно может быть отождествлено с нулевым множеством гладкого отображения или фактором такого нулевого множества по конечной группе. Структуры Кураниши были введены японскими математиками Кендзи Фукая и Каору Оно при изучении инвариантов Громова – Виттена и гомологии Флоера в симплектической геометрии и названы в честь Масатаке Кураниши . ^[1]${\ displaystyle (f_ {1}, \ ldots, f_ {k}) \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n + k} \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$

Определение [ править ]

Пусть - компактное метризуемое топологическое пространство . Пусть будет точка. Кураниши окрестность из (размерности ) представляет собой 5-кортеж${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p \ in X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle K_ {p} = (U_ {p}, E_ {p}, S_ {p}, F_ {p}, \ psi _ {p})}$

где

• ${\ displaystyle U_ {p}}$- гладкое орбифолд ;
• ${\ displaystyle E_ {p} \ to U_ {p}}$ - гладкое векторное расслоение орбифолдов;
• ${\ displaystyle S_ {p} \ двоеточие U_ {p} \ to E_ {p}}$ гладкое сечение;
• ${\displaystyle F_{p}}$открытая окрестность ;${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}}$является гомеоморфизмом .

Они должны это удовлетворить .${\displaystyle \dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k}$

Если и , являются их окрестностями Кураниши соответственно, то изменение координат с на является тройным${\displaystyle p,q\in X}$${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$${\displaystyle K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})}$${\displaystyle K_{q}}$${\displaystyle K_{p}}$

${\displaystyle T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq}),}$

где

• ${\displaystyle U_{pq}\subset U_{q}}$ - открытое подобъорбифолд;
• ${\displaystyle \phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}}$ орбифолдное вложение;
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}}$- вложение векторных расслоений орбифолдов, покрывающее .${\displaystyle \phi _{pq}}$

Кроме того, эти данные должны удовлетворять следующим условиям совместимости:

• ${\displaystyle S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}}$.

Структура Кураниши по размерности представляет собой набор${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},}$

где

• ${\displaystyle K_{p}}$является окрестностью Кураниши размерности ;${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle T_{pq}}$- изменение координаты с на .${\displaystyle K_{q}}$${\displaystyle K_{p}}$

Кроме того, изменения координат должны удовлетворять условию коцикла , а именно всякий раз , когда мы требуем, чтобы${\displaystyle q\in F_{p},\ r\in F_{q}}$

${\displaystyle \phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}}$

по регионам, где определены обе стороны.

История [ править ]

В теории Громова – Виттена необходимо определить интегрирование по пространству модулей псевдоголоморфных кривых . ^[2] Это пространство модулей грубо представляет собой набор отображений нодальной римановой поверхности с родом и отмеченными точками в симплектическое многообразие , причем каждая компонента удовлетворяет уравнению Коши – Римана${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}u=0}$.

Если пространство модулей является гладким, компактным, ориентированным многообразием или орбифолдом, то интеграция (или фундаментальный класс ) может быть определена. Когда симплектическое многообразие является пол-положительного , то это действительно так , если (для коразмерности 2 границ пространства модулей , за исключением) почти комплексная структура возмущаются обобщенно. Однако, когда не является пол-положительным (например, гладким проективного многообразие с отрицательным первым классом Черна), то пространство модулей может содержать конфигурации , для которых один из компонентов является кратным крышки голоморфной сферы , пересечение которой с первым классом Черен из${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u\colon S^{2}\to X}$${\displaystyle X}$отрицательный. Такие конфигурации делают пространство модулей очень сингулярным, поэтому фундаментальный класс не может быть определен обычным способом.

Понятие структуры Кураниши было способом определения виртуального фундаментального цикла , который играет ту же роль, что и фундаментальный цикл, когда пространство модулей вырезано в поперечном направлении. Впервые он был использован Фукая и Оно при определении инвариантов Громова – Виттена и гомологий Флоера и получил дальнейшее развитие, когда Фукая, Йонг-Гын О, Хироши Охта и Оно изучали теорию Лагранжа пересечения Флоера . ^[3]

Ссылки [ править ]

• Фукая, Кендзи ; Тегерани, Мохаммад Ф. (2019). «Теория Громова-Виттена через структуры Кураниши». В Моргане, Джон У. (ред.). Виртуальные фундаментальные циклы в симплектической топологии . Математические обзоры и монографии. 237 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 111–252. arXiv : 1701.07821 . ISBN 978-1-4704-5014-4. Руководство по ремонту  2045629 .