цис (математика)

cis - математическая запись, определяемая формулой cis x = cos x + i sin x , где cos -функция косинуса , i - мнимая единица, а sin -функция синуса . Обозначения используются реже, чем формула Эйлера , e ^ix , которая предлагает еще более короткие и более общие обозначения для cos x + i sin x .

Обзор [ править ]

Цис обозначение является сокращенным для комбинации функций на правой стороне формулы Эйлера :

${\ Displaystyle е ^ {ix} = \ соз х + я \ грех х,}$

где i ² = −1 . Так,

${\ Displaystyle \ OperatorName {цис} х = \ соз х + я \ грех х,}$^{[1] [2] [3]}

т.е. « цис » - это аббревиатура от « Cos I Sin ».

Цис обозначение впервые было придумано William Rowan Hamilton в элементах кватернионов (1866) ^{[4] [5]} , а затем используются Irving Стрингхого в работах , такие как одноплановые алгебры (1893), ^{[6] [7]} , или Джеймс Harkness и Фрэнк Морли в их « Введении в теорию аналитических функций» (1898 г.). ^{[7] [8]} Он связывает тригонометрические функции с экспоненциальными функциями на комплексной плоскости с помощью формулы Эйлера .

Он в основном используется в качестве удобной сокращенной записи для упрощения некоторых выражений, ^{[9] [10] [11],} например, в сочетании с преобразованиями Фурье и Хартли , ^{[12] [13] [14]} или когда экспоненциальные функции не должны быть почему-то используется в математическом образовании.

В области информационных технологий, функция видит целенаправленную поддержку в различных высокоэффективных математических библиотеках (например, Intel «s Math Kernel Library (MKL) ^[15] ), для многих компиляторов языков программирования (включая C , C ++ , ^[16] Common Lisp , ^{[17] [18]} D , ^[19] Fortran , ^[20] Haskell , ^[21] Julia ^[22] ) и операционные системы (включая Windows , Linux , ^[20] macOS и HP-UX ^[23]). В зависимости от платформы объединенная операция примерно в два раза быстрее, чем вызов функций синуса и косинуса по отдельности. ^{[19] [3]}

Математические тождества [ править ]

Производная [ править ]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^{[1] [24]}

Интегральный [ править ]

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

Другие свойства [ править ]

Они непосредственно следуют из формулы Эйлера .

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$^[25]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

Приведенные выше тождества верны, если x и y - любые комплексные числа. Если x и y действительны, то

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$^[25]

История [ править ]

Это обозначение было более распространено в эпоху после Второй мировой войны, когда пишущие машинки использовались для передачи математических выражений.

Цис обозначения иногда используется , чтобы подчеркнуть один способ просмотра и дело с проблемой , над другой. ^[26] Математика тригонометрии и экспонент связаны, но не совсем одинаковы; экспоненциальная запись подчеркивает целое, тогда как обозначения cis x и cos x + i sin x подчеркивают части. Это может быть риторически полезно для математиков и инженеров при обсуждении этой функции, а также может служить мнемоникой (для cos + i sin ).

Цис нотация удобна для студентов по математике , чьи знания тригонометрии и комплексных чисел позволяют это обозначение, но чьи концептуальное понимание еще не разрешает запись электронной ^IX . По мере того, как учащиеся изучают концепции, основанные на предшествующих знаниях, важно не заставлять их переходить на уровни математики, к которым они еще не готовы: обычное доказательство того, что cis x = e ^ix требует исчисления , которое ученик, возможно, не изучал до того, как выражение cos x + i sin x .

В 1942 году, вдохновленный нотацией цис , Ральф В.Л. Хартли представил функцию cas ( косинус-синус ) для действительного ядра Хартли , тем временем установленный ярлык в сочетании с преобразованиями Хартли : ^{[27] [28]}

${\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}$

См. Также [ править ]

• Формула де Муавра
• Формула Эйлера
• Комплексное число
• Теорема Птолемея
• Фазор
• Versor

Ссылки [ править ]