В математической области низкоразмерной топологии , А clasper является поверхностью (с дополнительной структурой) в 3-многообразии , на котором операция может быть выполнена.
Мотивация
Начиная с полинома Джонса , в течение 1980-х годов было найдено бесконечно много новых инвариантов узлов , зацеплений и трехмерных многообразий . Изучение этих новых "квантовых" инвариантов быстро расширилось до суб-дисциплины низкоразмерной топологии, называемой квантовой топологией. Квантовый инвариант , как правило , изготовлен из двух компонентов: а формальная сумма из диаграмм Якобите (которые несут структуру алгебры Ли) и представление ленты алгебры Хопфа , такие как квантовая группа . Априори непонятно, почему любой из этих компонентов должен иметь какое-либо отношение к низкоразмерной топологии. Таким образом, одной из основных проблем квантовой топологии является топологическая интерпретация квантовых инвариантов.
Теория класперс дает такую интерпретацию. Класпер, подобно обрамленному звену , представляет собой вложенный топологический объект в 3-многообразие, на котором можно выполнить операцию . Фактически, исчисление класпера можно рассматривать как вариант исчисления Кирби, в котором разрешены только определенные типы ссылок во фреймах. Клещ можно также интерпретировать алгебраически, как диаграмму исчислении для плетеной строгой моноидальной категории Cob из ориентированных соединенных поверхностей с связной границей. Кроме того, что наиболее важно, класперы можно грубо рассматривать как топологическую реализацию диаграмм Якоби, которые являются чисто комбинаторными объектами. Это объясняет структуру алгебры Ли градуированного векторного пространства диаграмм Якоби в терминах структуры алгебры Хопфа Cob .
Определение
Застежка компактная поверхность, вложенная во внутренность трехмерного многообразия оборудован разложением на две подповерхности а также , компоненты связности которого называются составляющими и ребрами соответственно. Каждый крайпредставляет собой группу, соединяющую две составляющие друг с другом или присоединяющую одну составляющую к себе. Есть четыре типа составляющих: листья, диски-листы, узлы и коробки.
Операцию класпера проще всего определить (после устранения узлов, коробок и лепестков диска, как описано ниже) как операцию вдоль звена, связанного с класпером, путем замены каждого листа его сердцевиной и замены каждого края правой связью Хопфа.
Исчисление Класпера
Ниже приведены графические соглашения, используемые при рисовании класперов (и их можно рассматривать как определение для блоков, узлов и дисков):
Хабиро нашел 12 ходов, которые связывают кламмеры, при которых операция дает тот же результат. Эти ходы составляют основу исчисления Класпера и придают значительную силу теории как инструменту доказательства теорем.
C n -эквивалентность
Два узла, зацепления или 3-многообразия называются -эквивалентны, если они связаны -движения, которые являются локальными перемещениями, вызванными хирургическими операциями на простом дереве кластеров без ящиков или листьев-дисков и с листья.
По ссылке , а -move - пересечение смены. А-move - это движение Дельта . Большинство приложений класперов используют только-двигается.
Основные результаты
Для двух узлов а также и неотрицательное целое число , следующие условия эквивалентны:
- а также не различаются инвариантом типа .
- а также находятся -эквивалент.
Соответствующее утверждение неверно для ссылок.
дальнейшее чтение
- С. Гаруфалидис, М. Гусаров, М. Поляк, Исчисление клеверов и инварианты конечного типа трехмерных многообразий , Геом. и Тополь., т. 5 (2001), 75–108.
- М. Н. Гусаров, Вариации узловатых графов. Геометрическая методика п -эквивалентность (русская) Алгебра и анализ 12 (4) (2000), 79-125; перевод в СПб. мат. J. 12 (4) (2001) 569–604.
- М. Н. Гусарова, Конечные инварианты типа и п -эквивалентность 3-многообразий Докл. Sci. Paris Ser. I Math. 329 (6) (1999), 517-522.
- К. Хабиро, модуль Claspers и Vassiliav , кандидатская диссертация, Токийский университет (1997).
- К. Хабиро, класперс и инварианты конечного типа зацеплений , Геом. и Тополь., т. 4 (2000), 1–83.
- С. Матвеев, Обобщенные перестройки трехмерных многообразий и представления гомологических сфер , Матем. Заметки, 42 (1987), вып. 2, 268–278.