В математике , то исчисление Кирбите в геометрической топологии , названное в честь Robion Кирбите , представляет собой способ модификации обрамленных ссылок в 3-мерной сфере , используя конечное множество ходов, то хода Kirby . Используя четырехмерную теорию Серфа , он доказал, что если M и N являются трехмерными многообразиями , полученными в результате перестройки Дена на оснащенных зацеплениях L и J соответственно, то они гомеоморфны тогда и только тогда, когда L и Jсвязаны последовательностью ходов Кирби. Согласно теореме Ликориша – Уоллеса любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие получается такой перестройкой некоторого зацепления в трехмерной сфере.
В литературе существует некоторая двусмысленность относительно точного использования термина «ходы Кирби». Различные представления «исчисления Кирби» имеют разный набор ходов, и их иногда называют ходами Кирби. Первоначальная формулировка Кирби включала два вида движений: «надувание» и «скольжение рукояткой»; Роджер Фенн и Колин Рурк продемонстрировали эквивалентную конструкцию в терминах единственного движения, движение Фенна – Рурка , которое появляется во многих описаниях и расширениях исчисления Кирби. Книга Дейла Рольфсена " Узлы и ссылки", из которого многие топологи изучили исчисление Кирби, описывает набор из двух движений: 1) удаление или добавление компонента с бесконечным коэффициентом хирургии 2) скручивание вдоль неузлованного компонента и соответствующее изменение коэффициентов хирургии (это называется поворотом Рольфсена ). Это позволяет распространить исчисление Кирби на рациональные операции.
Существуют также различные приемы для изменения хирургических схем. Один из таких полезных приемов - данк .
Для описания 4-многообразий используется расширенный набор диаграмм и ходов . Ссылка в рамке в 3-сферном шаре кодирует инструкции по прикреплению 2-х ручек к 4-му шару. (Трехмерная граница этого многообразия является интерпретацией 3-многообразия схемы связей, упомянутой выше.) 1-ручки обозначаются либо
- пара 3-х шариков (область крепления 1-ручки) или, что чаще,
- кружки без узлов с точками.
Точка указывает на то, что окрестность стандартного 2-диска с границей пунктирного круга должна быть удалена изнутри 4-шара. [1] Удаление этого 2-дескриптора эквивалентно добавлению 1-дескриптора; 3-х и 4-х ручные ручки на схеме обычно не указываются.
Обработка декомпозиции [ править ]
- Замкнутое гладкое 4-многообразие обычно описывается разложением на ручки .
- 0-ручка - это просто шар, а присоединяющаяся карта - это несвязное объединение.
- 1-ручка прикреплена вдоль двух непересекающихся 3-х шариков .
- 2-ручка прикреплена вдоль полнотория ; поскольку это полноторие вложено в 3-многообразие , существует связь между разбиениями на ручки на 4-многообразиях и теорией узлов в 3-многообразиях.
- Пара ручек с индексом, отличающимся на 1, ядра которых достаточно просто соединяют друг друга, может быть аннулирована без изменения лежащего в основе коллектора. Аналогичным образом может быть создана такая отменяющая пара.
Два различных разложения гладких ручек гладкого 4-многообразия связаны конечной последовательностью изотопий прикрепляемых карт и созданием / уничтожением пар ручек.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Кирби, Робион (1978). «Исчисление для обрамленных ссылок в S 3 ». Inventiones Mathematicae . 45 (1): 35–56. DOI : 10.1007 / BF01406222 . Руководство по ремонту 0467753 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979). «Об исчислении ссылок Кирби». Топология . 18 (1): 1–15. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (79) 90010-7 . Руководство по ремонту 0528232 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- Гомпф, Роберт ; Стипсич, Андраш (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . 20 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0994-6. Руководство по ремонту 1707327 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 14 мая 2012 года . Проверено 2 января 2012 . CS1 maint: archived copy as title (link)
