В математике диагональная кубическая поверхность Клебша или икосаэдрическая кубическая поверхность Клейна - это неособая кубическая поверхность , изученная Клебшем (1871 г.) и Клейном (1873 г.) , все 27 исключительных прямых которой могут быть определены над действительными числами. Термин икосаэдрическая поверхность Клейна может относиться либо к этой поверхности, либо к ее раздутию в 10 точках Эккардта .
Определение
Поверхность Клебша - это набор точек ( x 0 : x 1 : x 2 : x 3 : x 4 ) точки P 4, удовлетворяющих уравнениям
Исключение x 0 показывает, что он также изоморфен поверхности
в P 3 .
Группа симметрии поверхности - это симметрическая группа S 5 порядка 120, действующая перестановками координат (в P 4 ). С точностью до изоморфизма поверхность Клебша - единственная кубическая поверхность с этой группой автоморфизмов.
Характеристики
27 исключительных линий:
- 15 изображений (под S 5 ) линии точек формы ( a : - a : b : - b : 0).
- 12 изображений прямой через точку (1: ζ: ζ 2 : ζ 3 : ζ 4 ) и ее комплексно сопряженное, где ζ - первообразный корень 5-й степени из 1.
Поверхность имеет 10 точек Эккарда, где пересекаются 3 прямые, заданные точкой (1: −1: 0: 0: 0) и ее сопряженными при перестановках. Хирцебрух (1976) показал, что поверхность, полученная раздутием поверхности Клебша в ее 10 точках Эккардта, является гильбертовой модулярной поверхностью главной конгруэнтной подгруппы уровня 2 гильбертовой модулярной группы поля Q ( √ 5 ). Фактор гильбертовой модулярной группы по ее конгруэнтной подгруппе уровня 2 изоморфен знакопеременной группе порядка 60 на 5 точках.
Как и все неособые кубические поверхности, кубику Клебша можно получить, раздувая проективную плоскость в 6 точках. Клейн (1873) описал эти моменты следующим образом. Если проективная плоскость отождествляется с набором прямых, проходящих через начало координат в трехмерном векторном пространстве, содержащем икосаэдр с центром в начале координат, то 6 точек соответствуют 6 линиям, проходящим через 12 вершин икосаэдра. Точки Эккарда соответствуют 10 линиям, проходящим через центры 20 граней.
Рекомендации
- Клебш, А. (1871), «Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits», Mathematische Annalen , 4 (2): 284–345, doi : 10.1007 / BF01442599
- Хирцебрух, Фридрих (1976), "Модулярная группа Гильберта для поля Q (√5) и кубическая диагональная поверхность Клебша и Клейна", УМН. Обзоры , 31 (5): 96-110, DOI : 10,1070 / RM1976v031n05ABEH004190 , ISSN 0042-1316 , МР 0498397
- Хант, Брюс (1996), Геометрия некоторых специальных арифметических дробей , Lecture Notes в области математики, 1637 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0094399 , ISBN 978-3-540-61795-2, Руководство по ремонту 1438547
- Кляйн, Феликс (1873), «Ueber Flächen dritter Ordnung» , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 6 (4): 551–581, doi : 10.1007 / BF01443196
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик У. «Диагональная кубика Клебша» . MathWorld .
- Поверхность Клебша , Джон Баэз , 1 марта 2016 г., AMS Visual Insight
Блог