Кубическая поверхность

В математике кубическая поверхность — это поверхность в 3-мерном пространстве, определяемая одним полиномиальным уравнением степени 3. Кубические поверхности являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии . Теория упрощается за счет работы в проективном пространстве , а не в аффинном пространстве , поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном трехмерном пространстве . Теория также становится более единообразной, сосредоточив внимание на поверхностях над комплексными числами , а не над действительными числами ; обратите внимание, что комплексная поверхность имеет действительную размерность 4. Простым примером является кубическая поверхность Ферма .${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {3}}$

в . Многие свойства кубических поверхностей в более общем виде относятся к поверхностям дель Пеццо .${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {3}}$

Центральная особенность гладких кубических поверхностей X над алгебраически замкнутым полем состоит в том, что все они рациональны , как показал Альфред Клебш в 1866 году . ^[1] То есть существует взаимно однозначное соответствие, определяемое рациональными функциями между проективными плоскость минус подмножество более низкой размерности и X минус подмножество более низкой размерности. В более общем смысле любая неприводимая кубическая поверхность (возможно, сингулярная) над алгебраически замкнутым полем рациональна, если только она не является проективным конусом над кубической кривой. ^[2]${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {2}}$В этом отношении кубические поверхности намного проще, чем гладкие поверхности степени не ниже 4 по , которые никогда не бывают рациональными. В нулевой характеристике гладкие поверхности степени не менее 4 дюйма даже не линейчатые . ^[3]${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {3}}$

Более строго, Клебш показал, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем изоморфна раздутию в 6 точках. ^[4] В результате каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами диффеоморфна связной сумме , где знак минус относится к изменению ориентации . И наоборот, раздутие в 6 точках изоморфно кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, что означает, что никакие три точки не лежат на прямой и все 6 не лежат на конике . Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {2} \ # 6 (- \ mathbf {CP} ^ {2})}$${\ Displaystyle \ mathbf {Р} ^ {2}}$), поверхность зависит от расположения этих 6 точек.

Гладкая кубическая поверхность (поверхность Клебша)

Граф Шлефли

Узловая кубическая поверхность Кэли