Теория Клиффорда

В математике теория Клиффорда , представленная Альфредом Х. Клиффордом (1937) , описывает отношения между представлениями группы и представлениями нормальной подгруппы.

Альфред Х. Клиффорд [ править ]

Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений группы G на нормальную подгруппу N конечного индекса :

Теорема Клиффорда [ править ]

Теорема . Пусть π: G → GL ( п , К ) неприводимое представление с K поля . Тогда ограничение π на N распадается на прямую сумму неприводимых представлений N одинаковой размерности. Эти неприводимые представления N лежат в одной орбите действия G сопряжениями на классы эквивалентности неприводимых представлений N . В частности, число попарно не изоморфных слагаемых не больше , чем индекс N в G .

Теорема Клиффорда дает информацию об ограничении комплексного неприводимого характера конечной группы G на нормальную подгруппу N. Если μ - комплексный характер группы N , то для фиксированного элемента g группы G другой характер μ ^(g) группы N можно построить, положив

{\ Displaystyle \ му ^ {(г)} (п) = \ му (gng ^ {- 1})}

для всех п в N . Характер μ ^(g) неприводим тогда и только тогда, когда μ. Теорема Клиффорда утверждает, что если χ - комплексный неприводимый характер группы G, а μ - неприводимый характер группы N с

{\ displaystyle \ langle \ chi _ {N}, \ mu \ rangle \ neq 0,}

тогда

{\ Displaystyle \ чи _ {N} = е \ влево (\ сумма _ {я = 1} ^ {т} \ му ^ {(г_ {я})} \ вправо),}

где e и t - положительные целые числа, и каждый g _i является элементом G. Целые числа e и t делят индекс [ G : N ]. Целое число t является индексом подгруппы группы G , содержащей N , известной как инерционная подгруппа группы μ. Это

{\ Displaystyle \ {г \ в г: \ му ^ {(г)} = \ му \}}

и часто обозначается

{\ displaystyle I_ {G} (\ mu).}

Элементы г _я могу быть принят , чтобы представители всех правых смежных классов подгруппы I _G (μ) в G .

Фактически, целое число e делит индекс

{\ displaystyle [I_ {G} (\ mu): N],}

хотя доказательство этого факта требует некоторого использования теории проективных представлений Шура .

Доказательство теоремы Клиффорда [ править ]

Доказательство теоремы Клиффорда лучше всего объясняется в терминах модулей (а теоретико- модульная версия работает для неприводимых модульных представлений ). Пусть F быть полем, V неприводимый F [ G ] -модуль, V _Н его ограничение на N и U неприводимый F [N] подмодуль V _N . Для каждого г в G , U . g является неприводимым F [ N ] -подмодулем в V _N и является ${\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} Ug}$ F [ G ] -подмодуль V , поэтому он должен быть всем V по неприводимости. Теперь V _N выражается как сумма неприводимых подмодулей, и это выражение может быть уточнено до прямой суммы. Доказательство характера теоретико-утверждения теоремы может теперь быть завершено в случае F = C . Пусть χ будет характер G , обеспечиваемая V и М характер N обеспечиваемая U . Для каждого г в G , в C [ N ] -подмодуль U . граммдает характер μ ^(g) и . Соответствующие равенства вытекают из того, что χ - класс-функция группы G, а N - нормальная подгруппа. Целое число e, фигурирующее в формулировке теоремы, и есть общая кратность. ${\ displaystyle \ langle \ chi _ {N}, \ mu ^ {(g)} \ rangle = \ langle \ chi _ {N} ^ {(g)}, \ mu ^ {(g)} \ rangle = \ langle \ chi _ {N}, \ mu \ rangle}$

Следствие теоремы Клиффорда [ править ]

Следствие теоремы Клиффорда, которое часто используется, состоит в том, что неприводимый характер χ, фигурирующий в теореме, индуцирован неприводимым характером инерциальной подгруппы I _G (μ). Если, например, неприводимый характер χ примитивен (т. Е. Χ не индуцируется ни из какой собственной подгруппы группы G ), то G = I _G (μ) и χ _N = e μ. Случай, когда это свойство примитивных характеров используется особенно часто, - это когда N абелево, а χ точное (то есть его ядро содержит только единичный элемент). В этом случае μ линейно, Nпредставлена скалярных матриц в любом представлении Предоставляя символов х и N , таким образом , содержится в центре из G . Например, если G - симметрическая группа S ₄ , то G имеет точный комплексный неприводимый характер χ степени 3. Существует абелева нормальная подгруппа N порядка 4 ( 4 -подгруппа Клейна ), не содержащаяся в центре группы G . Следовательно, х индуцирован характером собственной подгруппы группы G, содержащей N.Только возможность состоит в том, что χ индуцирован из линейного характера Силова 2 -подгруппы G .

Дальнейшее развитие [ править ]

Теорема Клиффорда привела к самостоятельному разделу теории представлений, теперь известному как теория Клиффорда . Это особенно актуально для теории представлений конечных разрешимых групп, где обычно имеется множество нормальных подгрупп. Для более общих конечных групп теория Клиффорда часто позволяет свести вопросы теории представлений к вопросам о группах, которые близки (в некотором смысле, который можно уточнить) к простоте.

Джордж Макки (1976) нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарных представлений в локально компактных группах в замкнутые нормальные подгруппы в том , что стало известно как «Макка машины» или «Макка нормального анализ подгруппы».

Ссылки [ править ]

Клиффорда, АХ (1937), "Представление , индуцируемое в инвариантной подгруппе", Анналы математики , вторая серия 38 (3): 533-550, DOI : 10,2307 / 1968599 , JSTOR 1968599 , ПКА 1076873 , PMID 16588132 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Макки, Джордж У. (1976), Теория представлений унитарных групп , Чикагские лекции по математике, ISBN 0-226-50051-9 CS1 maint: discouraged parameter (link)