В математической логике предложение ( или замкнутая формула ) [1] логики предикатов — это булевозначная корректная формула без свободных переменных . Предложение можно рассматривать как выражение предложения , чего-то, что должно быть истинным или ложным. Ограничение отсутствия свободных переменных необходимо, чтобы гарантировать, что предложения могут иметь конкретные, фиксированные значения истинности : поскольку свободные переменные (общей) формулы могут варьироваться в нескольких значениях, значение истинности такой формулы может варьироваться.
Предложения без каких -либо логических связок или кванторов известны как атомарные предложения ; по аналогии с атомарной формулой . Затем предложения строятся из атомарных формул с применением связок и кванторов.
Набор предложений называется теорией ; таким образом, отдельные предложения можно назвать теоремами . Чтобы правильно оценить истинность (или ложность) предложения, необходимо сослаться на интерпретацию теории. Для теорий первого порядка интерпретации обычно называют структурами . Учитывая структуру или интерпретацию, предложение будет иметь фиксированное истинностное значение . Теория выполнима , когда можно представить интерпретацию, в которой все ее предложения верны. Изучение алгоритмов для автоматического обнаружения интерпретаций теорий, которые делают все предложения истинными, известно как проблема выполнимости по модулю теорий .
является предложением. Это предложение истинно для положительных действительных чисел ℝ + , неверно для действительных чисел ℝ и истинно для комплексных чисел ℂ. (На простом английском языке это предложение интерпретируется как означающее, что каждый член рассматриваемой структуры является квадратом члена этой конкретной структуры.) С другой стороны, формула
не является предложением из-за наличия свободной переменной y . В структуре действительных чисел эта формула верна, если мы подставим (произвольно) y = 2, но ложна, если y = –2.
Важно наличие свободной переменной, а не непостоянное значение истинности; например, даже в структуре комплексных чисел, где утверждение всегда верно, оно все равно не считается предложением. Вместо этого такую формулу можно назвать предикатом .