Cofinal (математика)

В математике , А подмножество из предупорядоченного множества называется конфинален или частыми ^[1] в , если для каждого можно найти элемент в том , что это «больше , чем » ( в явном виде, «больше , чем » средств ). ${\ Displaystyle B \ substeq A}$ ${\ Displaystyle (А, \ leq)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ in A,}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ leq b}$

Конфинальные подмножества очень важны в теории направленных множеств и сетей , где « конфинальная подсеть » является подходящим обобщением « подпоследовательности ». Они также играют важную роль в теории порядка , в том числе теории кардинальных чисел , где минимально возможной мощности от конфинальной подмножества называется как конфинальности из${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A.}$

Определения

Пусть - однородное бинарное отношение на множестве . Подмножество называется конфинальным или частым ^[1] относительно, если оно удовлетворяет следующему условию: ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$${\ displaystyle A.}$${\ Displaystyle B \ substeq A}$${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$

Для каждого существует такое, что${\ displaystyle a \ in A,}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\leq b.}$

Подмножество, которое встречается нечасто, называется нечастым . ^[1] Это определение чаще всего применяется, когда это направленный набор , который является предварительно упорядоченным набором с дополнительными свойствами. ${\displaystyle (A,\leq )}$

Заключительные функции

Отображение между двумя направленными множествами называется окончательным ^[2] , если изображение из является конфинально подмножество${\displaystyle f:X\to A}$ ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A.}$

Монетные подмножества

Подмножество называется коинициальным (или плотным в смысле принуждения ), если оно удовлетворяет следующему условию: ${\displaystyle B\subseteq A}$

Для каждого существует такое, что${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle b\leq a.}$

Это теоретико-упорядоченное двойственное понятие понятия конфинального подмножества. Конфинальные и коинициальные подмножества плотны в смысле топологии соответствующего (правого или левого) порядка .

Характеристики

Конфинальное отношение над частично упорядоченными множествами (« посетами ») рефлексивно : каждый посет является конфинальным сам по себе. Он также транзитивен : если является финальным подмножеством изучаемого набора и является финальным подмножеством (с частичным упорядочением, применяемым к ), то также является финальным подмножеством${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A.}$

Для частично упорядоченного набора с максимальными элементами каждое конфинальное подмножество должно содержать все максимальные элементы , в противном случае максимальный элемент, который не входит в подмножество, не мог бы быть меньше или равен любому элементу подмножества, нарушая определение конфинала. Для частично упорядоченного множества с наибольшим элементом подмножество конфинально тогда и только тогда, когда оно содержит этот наибольший элемент (это следует, поскольку наибольший элемент обязательно является максимальным элементом). Частично упорядоченные множества без наибольшего элемента или максимальных элементов допускают непересекающиеся конфинальные подмножества. Например, четные и нечетные натуральные числа образуют непересекающиеся конфинальные подмножества множества всех натуральных чисел.

Если частично упорядоченное множество допускает полностью упорядоченное конфинальное подмножество, то мы можем найти подмножество , которое хорошо упорядочено и конфинально в${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$

Если - это направленное множество, а если - окончательное подмножество, то также является направленным множеством. ^[1]${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (B,\leq )}$

Примеры и достаточные условия

Любое надмножество конфинальных подмножеств является конфинальным. ^[1]

Если является предупорядоченным множеством и если некоторое объединение (одного или нескольких) конечного числа подмножеств конфинально, то хотя бы одно из множества конфинально. ^[1]${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$

Отношения подмножества и базы соседства

Пусть быть топологическим пространство , и пусть обозначает окрестность фильтр в точке надстройки отношение является частичным порядком на : явно, для любых множеств и заявляют , что , если и только если (так , в сущности, равно ). Подмножество называется базой окрестностей в, если (и только если) является конфинальным подмножеством того, что есть, тогда и только тогда, когда для каждого существует такое, что (то есть такое, что ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle S\leq T}$${\displaystyle S\supseteq T}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle N\supseteq B.}$${\displaystyle N\leq B}$

Конфинальные подмножества действительных чисел

Для любого интервал является конфинально подмножеством , но это не конфинальное подмножество Множества из натуральных чисел (состоящий из положительных целых чисел) представляет собой подмножество конфинально , но это не верно для множества отрицательных целых${\displaystyle -\infty \leq x<\infty ,}$${\displaystyle (x,\infty )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}$

Аналогичным образом , для любого интервала является конфинально подмножеством , но это не конфинальное подмножество Множества отрицательных целых чисел конфинального подмножества , но это не верно для натуральных чисел Множества всех целых чисел является конфинально подмножеством , а также окончательное подмножество ; то же самое верно и для набора${\displaystyle -\infty <y\leq \infty ,}$${\displaystyle (-\infty ,y)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$${\displaystyle -\mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$${\displaystyle \mathbb {N} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Окончательный набор подмножеств

Частный, но важный случай дается, если является подмножеством набора мощности некоторого набора, упорядоченного обратным включением. Учитывая, что этот порядок подмножества является конфинальным, если для каждого существует такое, что${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \wp (E)}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle \,\supseteq .}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\supseteq b.}$

Например, пусть будет группой и пусть будет набором нормальных подгрупп конечного индекса . Проконечная завершение на это определяется как обратный предел от обратной системы конечных частных (которые параметризованных множеством ). В этой ситуации каждого конфинального подмножества достаточно, чтобы построить и описать проконечное завершение${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E.}$

Смотрите также

• Cofinite
• Cofinality  - Размер подмножеств в теории порядка
• Верхний набор  - подмножество предварительно упорядоченного пространства, которое содержит любой элемент, который больше любого одного элемента подмножества.
  • подмножество частично упорядоченный набор , который содержит все элементы , для которых есть с${\displaystyle U}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle y\in P}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle x\leq y}$

использованная литература

• Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .