Дедекинд огранка
В математике разрезы Дедекинда , названные в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда , но ранее рассмотренные Йозефом Бертраном , [1] [2] являются методом построения действительных чисел из рациональных чисел . Разрез Дедекинда — это разбиение рациональных чисел на два множества A и B , такое, что все элементы A меньше всех элементов B , а A не содержит наибольшего элемента . Набор Бможет иметь или не иметь наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B имеет наименьший элемент среди рациональных чисел, разрез соответствует этому рациональному. В противном случае этот разрез определяет уникальное иррациональное число, которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и B . [3] Другими словами, A содержит все рациональные числа, меньшие разреза, а B содержит все рациональные числа, большие или равные разрезу. Иррациональное сечение приравнивается к иррациональному числу, не входящему ни в одно из множеств. Каждое действительное число, рациональное или нет, приравнивается к одному и только одному разрезу рациональных чисел. [3]
Разрезы Дедекинда можно обобщить с рациональных чисел на любое вполне упорядоченное множество , определив разрез Дедекинда как разбиение вполне упорядоченного множества на две непустые части A и B , такие что A замкнуто вниз (что означает, что для всех a в A , x ≤ a означает, что x также находится в A ) , B замкнуто сверху и A не содержит наибольшего элемента. См. также полнота (теория порядка) .
Несложно показать, что разрез Дедекинда среди действительных чисел однозначно определяется соответствующим разрезом среди рациональных чисел. Точно так же каждый разрез вещественных чисел идентичен разрезу, произведенному определенным действительным числом (которое можно определить как наименьший элемент множества B ). Другими словами, числовая линия , в которой каждое действительное число определяется как Дедекиндов разрез рациональных чисел, представляет собой полный континуум без каких-либо дальнейших пробелов.
Разрез Дедекинда — это разбиение рациональных чисел на два подмножества , такое, что
Более симметрично использовать обозначение ( A , B ) для разрезов Дедекинда, но каждый из A и B действительно определяет другой. Это может быть упрощением с точки зрения обозначений, если не более того, сконцентрироваться на одной «половине» — скажем, на нижней — и назвать любое замкнутое вниз множество A без наибольшего элемента «разрезом Дедекинда».
Если упорядоченное множество S полно, то для каждого сечения Дедекинда ( A , B ) множества S множество B должно иметь минимальный элемент b , следовательно, мы должны иметь, что A является интервалом (−∞, b ), а B интервал [ b , +∞). В этом случае мы говорим, что b представлен разрезом ( A , B ).
