Метод сопряженных пучков

(0) реальная балка, (1) сдвиг и момент, (2) сопряженная балка, (3) наклон и смещение

Сопряженная балка определяется как воображаемая балка с такими же размерами (длиной), что и исходная балка, но нагрузка в любой точке сопряженной балки равна изгибающему моменту в этой точке, деленному на EI. ^[1] Метод сопряженных балок - это инженерный метод определения наклона и смещения балки. Метод сопряженных балок был разработан Х. Мюллер-Бреслау в 1865 году. По сути, он требует того же объема вычислений, что и теоремы момент-площадь для определения наклона или отклонения балки; однако этот метод основан только на принципах статики, поэтому его применение будет более привычным. ^[2]

Основа метода исходит из подобия уравнения. 1 и уравнение 2 к уравнению 3 и уравнению 4. Чтобы показать это сходство, эти уравнения показаны ниже.

${\ displaystyle Eq.1 \; {\ frac {dV} {dx}} = w}$	${\ displaystyle Eq.3 \; {\ frac {d ^ {2} M} {dx ^ {2}}} = w}$
${\ displaystyle Eq.2 \; {\ frac {d \ theta} {dx}} = {\ frac {M} {EI}}}$	${\ displaystyle Eq.4 \; {\ frac {d ^ {2} v} {dx ^ {2}}} = {\ frac {M} {EI}}}$

Интегрированные уравнения выглядят следующим образом.

${\ Displaystyle V = \ int ш \, dx}$	${\ Displaystyle M = \ int \ left [\ int w \, dx \ right] dx}$
${\ displaystyle \ theta = \ int \ left ({\ frac {M} {EI}} \ right) dx}$	${\ Displaystyle v = \ int \ left [\ int \ left ({\ frac {M} {EI}} \ right) dx \ right] dx}$

Здесь сдвиг V сравнивается с наклоном θ, момент M сравнивается со смещением v, а внешняя нагрузка w сравнивается с диаграммой M / EI. Ниже представлена диаграмма сдвига, момента и прогиба. Диаграмма AM / EI - это диаграмма моментов, разделенная на модуль Юнга балки и момент инерции .

Чтобы использовать это сравнение, мы теперь рассмотрим луч, имеющий ту же длину, что и реальный луч, но упоминаемый здесь как «сопряженный луч». Сопряженная балка «нагружена» диаграммой M / EI, полученной из нагрузки на реальную балку. Из приведенных выше сравнений мы можем сформулировать две теоремы, относящиеся к сопряженной балке: ^[2]

Теорема 1: Наклон в точке реальной балки численно равен сдвигу в соответствующей точке сопряженной балки.

Теорема 2: смещение точки реальной балки численно равно моменту в соответствующей точке сопряженной балки. ^[2]

Опоры сопряженных балок [ править ]

При рисовании сопряженной балки важно, чтобы сдвиг и момент, развиваемые на опорах сопряженной балки, учитывали соответствующий наклон и смещение реальной балки на ее опорах, что является следствием теорем 1 и 2. Например, как показано ниже , штифт или роликовая опора на конце реальной балки обеспечивает нулевое смещение, но ненулевой наклон. Следовательно, согласно теоремам 1 и 2, сопряженная балка должна поддерживаться штифтом или роликом, поскольку эта опора имеет нулевой момент, но имеет сдвиг или торцевую реакцию. Когда реальная балка имеет фиксированную опору, наклон и смещение равны нулю. Здесь сопряженная балка имеет свободный конец, так как на этом конце нулевой сдвиг и нулевой момент. Соответствующие действительные и сопряженные опоры показаны ниже. Отметим, что, как правило, пренебрегая осевыми силами,статически определенные реальные пучки имеют статически определенные сопряженные пучки; а статически неопределимые реальные пучки имеют нестабильные сопряженные пучки. Хотя это происходит, нагрузка M / EI обеспечит необходимое «равновесие», чтобы удерживать сопряженный пучок в стабильном состоянии. ^[2]

Реальная поддержка против поддержки Conjugate ^[3]
Реальный луч		Сопряженный пучок
Фиксированная поддержка		Свободный конец
${\ displaystyle v = 0}$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$		${\ displaystyle {\ overline {M}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {Q}} = 0}$
Свободный конец		Фиксированная поддержка
${\ Displaystyle v \ not = 0}$ ${\ displaystyle \ theta \ not = 0}$		${\ Displaystyle {\ overline {M}} \ not = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {Q}} \ not = 0}$
Навесная опора		Навесная опора
${\ displaystyle v = 0}$ ${\ displaystyle \ theta \ not = 0}$		${\ displaystyle {\ overline {M}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {Q}} \ not = 0}$
Средняя поддержка		Средняя петля
${\ displaystyle v = 0}$ ${\ displaystyle \ theta}$ :Продолжать		${\ displaystyle {\ overline {M}} = 0}$ ${\overline {Q}}$ :Продолжать
Средняя петля		Средняя поддержка
$v$ :Продолжать $\theta$ : discontinue		${\overline {M}}$ :Продолжать ${\overline {Q}}$ : discontinue

Примеры сопряженного пучка ^[3]
Реальный луч		Сопряженный пучок
Простая балка
Консольная балка
Левый конец свешивающаяся балка
Двусторонняя нависающая балка
Балка Гербера (2 пролет)
Балка Гербера (3 пролета)

Процедура анализа [ править ]

Следующая процедура предоставляет метод, который можно использовать для определения смещения и прогиба в точке на упругой кривой балки с использованием метода сопряженных балок.

Сопряженный луч [ править ]

Нарисуйте сопряженный луч для реального луча. Эта балка имеет ту же длину, что и настоящая балка, и имеет соответствующие опоры, перечисленные выше.
В общем, если реальная опора допускает наклон, сопряженная опора должна развивать сдвиг ; и если реальная опора допускает смещение, сопряженная опора должна развиваться в момент .
На сопряженный пучок загружается диаграмма M / EI реального пучка. Предполагается, что эта нагрузка распределена по сопряженному пучку и направлена вверх, когда M / EI положительна, и вниз, когда M / EI отрицательна. Другими словами, нагрузка всегда действует в направлении от балки. ^[2]

Равновесие [ править ]

Используя уравнения статики , определите реакции на опорах сопряженных балок.
Срежьте сопряженную балку в точке, где необходимо определить наклон θ и смещение Δ реальной балки. На разрезе показаны неизвестные значения сдвига V 'и M', равные θ и Δ, соответственно, для реальной балки. В частности, если эти значения положительные, а наклон - против часовой стрелки, а смещение - вверх. ^[2]

См. Также [ править ]

Консольный метод

Ссылки [ править ]

OKAMURA Koichi 岡村宏一 (1988). Kouzou kougaku (I) Doboku kyoutei sensyo . Кашима сюппан. ISBN 4-306-02225-0.

^ Bansal, RK (2010). Прочность материалов . ISBN 9788131808146. Проверено 20 ноября 2014 года .
^ Б с д е е Hibbeler, RC (2009). Структурный анализ . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон. С. 328 –335.
^ а б Окмамура (1988)、 стр.171。

[1] Bansal, RK (2010). Прочность материалов . ISBN 9788131808146. Проверено 20 ноября 2014 года .

[Hibbeler_2009_328–335-2] Б с д е е Hibbeler, RC (2009). Структурный анализ . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон. С. 328 –335.

[okamura_171-3] а б Окмамура (1988)、 стр.171。

[1]