Угловое смещение

Эта статья может сбивать читателей с толку или непонятна . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Август 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Угловое смещение тела - это угол в радианах ( градусах , оборотах ), на который точка поворачивается вокруг центра или линия была повернута в определенном смысле вокруг указанной оси . Когда тело вращается вокруг своей оси, движение нельзя просто анализировать как частицу, поскольку при круговом движении оно претерпевает изменяющуюся скорость и ускорение в любой момент ( t). Когда речь идет о вращении тела, становится проще считать само тело твердым. Тело обычно считается твердым, если расстояние между всеми частицами остается постоянным на протяжении всего движения тела, например, части его массы не разлетаются. В реальном смысле все может быть деформируемым, однако это воздействие минимально и незначительно. Таким образом, вращение твердого тела вокруг фиксированной оси называется вращательным движением .

Пример [ править ]

В примере, показанном справа (или выше в некоторых мобильных версиях), частица или тело P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат, O , вращаясь против часовой стрелки. Затем становится важным представить положение частицы P в терминах ее полярных координат ( r , θ ). В этом конкретном примере значение θ изменяется, а значение радиуса остается прежним. (В прямоугольных координатах ( x , y ) и x, и y меняются со временем). При движении по окружности частица проходит длину дуги s, который становится связанным с угловым положением через соотношение: -

${\ displaystyle s = r \ theta \,}$

Измерения [ править ]

Угловое смещение может измеряться в радианах или градусах. Использование радианов обеспечивает очень простую связь между расстоянием, пройденным по окружности, и расстоянием r от центра.

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {s} {r}}}$

Например, если тело вращается на 360 ° вокруг окружности радиуса г , угловое смещение задается расстояния по окружности - который является 2π г - разделенный на радиус: которая легко упрощается: . Следовательно, 1 оборот - это радианы.${\ displaystyle \ theta = {\ frac {2 \ pi r} {r}}}$${\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Когда частица перемещается из точки P в точку Q , как это происходит на иллюстрации слева, радиус круга изменяется под углом, который равен угловому смещению .${\ displaystyle \ delta t}$${\ displaystyle \ Delta \ theta = \ theta _ {2} - \ theta _ {1}}$

Три измерения [ править ]

В трех измерениях угловое смещение - это сущность, у которой есть направление и величина. Направление определяет ось вращения, которая всегда существует в силу теоремы Эйлера о вращении ; величина определяет вращение в радианах вокруг этой оси (с использованием правила правой руки для определения направления). Этот объект называется осью-углом .

Несмотря на направление и величину, угловое смещение не является вектором, поскольку не подчиняется закону коммутативности для сложения. ^[1] Тем не менее, имея дело с бесконечно малыми вращениями, бесконечно малые величины второго порядка можно отбросить, и в этом случае появляется коммутативность.

Существует несколько способов описания углового смещения , например матрицы вращения или углы Эйлера . См. Диаграммы на SO (3) для других.

Обозначение матрицы [ править ]

Учитывая, что любой кадр в пространстве может быть описан матрицей вращения, смещение между ними также может быть описано матрицей вращения. Имея и две матрицы, матрица угловых перемещений между ними может быть получена как . Когда это произведение выполняется с очень небольшой разницей между обоими кадрами, мы получим матрицу, близкую к единице.${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle A_ {f}}$${\ displaystyle \ Delta A = A_ {f} .A_ {0} ^ {- 1}}$

В пределе у нас будет бесконечно малая матрица вращения.

Матрицы бесконечно малых вращений [ править ]

Бесконечно малое угловое смещение - это бесконечно малая матрица вращения :

• Поскольку любая матрица вращения имеет единственное действительное собственное значение, равное +1, это собственное значение показывает ось вращения.
• Его модуль может быть выведен из значения бесконечно малого вращения.
• Форма матрицы такая:

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & -d \ phi _ {z} (t) & d \ phi _ {y} (t) \\ d \ phi _ {z} (t) & 1 & -d \ phi _ {x} (t) \\ - d \ phi _ {y} (t) & d \ phi _ {x} (t) & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Мы можем ввести здесь тензор бесконечно малых угловых смещений или связанный с ним генератор вращения :

${\ displaystyle d \ Phi (t) = {\ begin {pmatrix} 0 & -d \ phi _ {z} (t) & d \ phi _ {y} (t) \\ d \ phi _ {z} (t) & 0 & -d \ phi _ {x} (t) \\ - d \ phi _ {y} (t) & d \ phi _ {x} (t) & 0 \\\ end {pmatrix}}}$

Такая, что связанная с ним матрица вращения . Если его разделить на время, получится вектор угловой скорости .${\ Displaystyle A = I + d \ Phi (t)}$

Генераторы вращений [ править ]

Предположим, мы задаем ось вращения единичным вектором [ x , y , z ], и предположим, что у нас есть бесконечно малый поворот на угол Δθ вокруг этого вектора. Расширяя матрицу вращения как бесконечное сложение и используя подход первого порядка, матрица вращения Δ R   представляется как:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

Конечный поворот на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность небольших вращений вокруг одной и той же оси. Аппроксимируя Δθ как θ / N, где N   - большое число, поворот θ вокруг оси можно представить как:

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

Можно видеть, что теорема Эйлера по существу утверждает, что все вращения могут быть представлены в этой форме. Произведение является «генератором» конкретного поворота, являясь вектором ( x , y , z ), связанным с матрицей A. Это показывает, что матрица вращения и формат ось-угол связаны экспоненциальной функцией.${\displaystyle \mathbf {A} \theta }$

Можно получить простое выражение для генератора G. Начнем с произвольной плоскости ^[2], определяемой парой перпендикулярных единичных векторов a и b. В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор x с перпендикуляром y. Один затем решает для у в терминах х и подставив в выражение для вращения в плоскости , дает матрицу вращения R , которая включает в себя генератор G = ба ^T - аб ^T .

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}}$

Чтобы включить во вращение векторы вне плоскости, необходимо изменить приведенное выше выражение для R, включив два оператора проекции, которые разделяют пространство. Эту модифицированную матрицу вращения можно переписать как экспоненциальную функцию .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}}$

Часто проще анализировать эти генераторы, чем использовать полную матрицу вращения. Анализ в терминах образующих известен как алгебра Ли группы вращений.

Связь с алгебрами Ли [ править ]

Матрицы в алгебре Ли не являются вращениями; кососимметричные матрицы - это производные, пропорциональные разности поворотов. Фактическое "дифференциальное вращение" или матрица бесконечно малого вращения имеет вид

${\displaystyle I+A\,d\theta ~,}$

где dθ исчезающе мало и A ∈ so (n) , например, при A = L _x ,

${\displaystyle dL_{x}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{smallmatrix}}\right].}$

Правила вычислений такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые второго порядка обычно отбрасываются. С этими правилами эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном рассмотрении бесконечно малых. ^[3] Оказывается, порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения . Чтобы увидеть это в качестве примера, обратитесь к бесконечно малым вращениям SO (3) .

Экспоненциальная карта [ править ]

Алгебра Ли связана с группой Ли с помощью экспоненциального отображения , которое определяется с помощью стандартного матричного ряда экспонент для e ^{A [4]} Для любой кососимметричной матрицы A exp ( A ) всегда является матрицей вращения. ^{[nb 1]}

Важным практическим примером является случай 3 × 3 . В группе вращений SO (3) показано, что каждый A ∈ so (3) можно отождествить с вектором Эйлера ω = θ u , где u = ( x , y , z ) - вектор единичной величины.

По свойствам идентификации су (2) ≅ ℝ ³ , у находится в нулевом пространстве A . Таким образом, u остается инвариантным по exp ( A ) и, следовательно, является осью вращения.

Используя вращения формулы Родриги на матричной форме с & thetas = ^θ / ₂ + ^θ / ₂ , вместе со стандартными двойными угловыми формулами получают,

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}}$

где с = соз ^θ / ₂ , ев = грех ^θ / ₂ .

Это матрица для поворота вокруг оси u на угол θ в полуугловой форме. Для получения полной информации см. Экспоненциальную карту SO (3) .

Обратите внимание, что для бесконечно малых углов члены второго порядка могут быть проигнорированы и остаются exp (A) = I + A

См. Также [ править ]

• Угловое расстояние
• Угловое положение
• Угловая скорость
• Бесконечно малое вращение
• Линейная эластичность
• Второй момент площади

Ссылки [ править ]