В математике непрерывная геометрия является аналогом сложной проективной геометрии, введенной фон Нейманом ( 1936 , 1998 ), где вместо размерности подпространства, находящегося в дискретном множестве 0, 1, ..., n , оно может быть элементом единичного интервала [0,1]. Фон Нейман был мотивирован своим открытием алгебр фон Неймана с функцией размерности, принимающей непрерывный диапазон измерений, и первым примером непрерывной геометрии, отличной от проективного пространства, были проекции гиперконечного фактора типа II .
Определение
Менгер и Биркгоф дали аксиомы проективной геометрии в терминах решетки линейных подпространств проективного пространства. Аксиомы фон Неймана для непрерывной геометрии являются ослабленной формой этих аксиом.
Непрерывная геометрия - это решетка L со следующими свойствами
- L является модульным .
- L является полным .
- Операции решетки ∧, ∨ удовлетворяют определенному свойству непрерывности:
- , где A - направленное множество, и если α < β, то a α < a β , и то же условие с ∧ и поменяно местами.
- Каждый элемент в L имеет дополнение (не обязательно уникальное). Дополнение элемента а является элемент Ь с более ∧ Ь = 0 , ∨ Ь = 1 , где 0 и 1 являются минимальными и максимальными элементами L .
- L неприводимо: это означает, что единственные элементы с уникальными дополнениями - это 0 и 1.
Примеры
- Конечномерное комплексное проективное пространство, или, скорее, его набор линейных подпространств, представляет собой непрерывную геометрию, размеры которой принимают значения в дискретном множестве {0, 1 / n , 2 / n , ..., 1}
- Проекции конечной алгебры фон Неймана типа II образуют непрерывную геометрию с размерами, принимающими значения в единичном интервале [0,1].
- Капланский (1955) показал, что любая полная модулярная решетка с ортодополнениями является непрерывной геометрией.
- Если V - векторное пространство над полем (или телом ) F , то существует естественное отображение решетки PG ( V ) подпространств V в решетку подпространств V ⊗ F 2, которое умножает размерность на 2. Таким образом, мы можем взять прямой предел в
- Это функция размерности, принимающая значения всех диадических рациональных чисел от 0 до 1. Ее завершение - это непрерывная геометрия, содержащая элементы всех измерений в [0,1]. Эта геометрия была построена фон Нейманом (1936b). , и называется непрерывной геометрией над "F"
Измерение
В этом разделе суммируются некоторые результаты фон Неймана (1998 , часть I). . Эти результаты аналогичны работе фон Неймана по проекциям в алгебрах фон Неймана и были мотивированы ею.
Два элемента a и b из L называются перспективой , пишется a ∼ b , если они имеют общее дополнение. Это отношение эквивалентности на L ; Доказательство его транзитивности довольно сложно.
Классы эквивалентности A , B , ... L имеют общий порядок на них, определенный как A ≤ B, если есть некоторые a в A и b в B с a ≤ b . (Это не обязательно для всех a в A и b в B. )
Размерная функция D от L до единичного интервала определяется следующим образом.
- Если классы эквивалентности A и B содержат элементы a и b с a ∧ b = 0, то их сумма A + B определяется как класс эквивалентности a ∨ b . В противном случае сумма A + B не определена. Для положительного целого числа n произведение nA определяется как сумма n копий A , если эта сумма определена.
- Для классов эквивалентности A и B, где A не {0}, целое число [ B : A ] определяется как единственное целое число n ≥ 0 такое, что B = nA + C с C < B .
- Для классов эквивалентности A и B, где A не {0}, действительное число ( B : A ) определяется как предел [ B : C ] / [ A : C ], поскольку C проходит через минимальную последовательность: это означает, что либо C содержит минимальный ненулевой элемент или бесконечную последовательность ненулевых элементов, каждый из которых не больше половины предыдущего.
- D ( a ) определяется как ({ a }: {1}) , где { a } и {1} - классы эквивалентности, содержащие a и 1.
Образ D может быть целым единичным интервалом или набором чисел 0, 1 / n , 2 / n , ..., 1 для некоторого положительного целого числа n . Два элемента L имеют одно и то же изображение под D тогда и только тогда, когда они перспективны, поэтому он дает инъекцию из классов эквивалентности в подмножество единичного интервала. Размерная функция D имеет свойства:
- Если a < b, то D ( a ) < D ( b )
- D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
- D ( a ) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 , и D ( a ) = 1 тогда и только тогда, когда a = 1
- 0 ≤ D ( а ) ≤ 1
Теорема о координации
В проективной геометрии теорема Веблена – Юнга утверждает, что проективная геометрия размерности не менее 3 изоморфна проективной геометрии векторного пространства над телом. Это можно переформулировать как утверждение, что подпространства в проективной геометрии соответствуют главным правым идеалам матричной алгебры над телом.
Нейман обобщил это на непрерывные геометрии и в более общем плане на дополненные модульные решетки следующим образом ( Neumann 1998 , Part II). Его теорема утверждает, что если дополненная модульная решетка L имеет порядок [ при определении как? ] не менее 4, то элементы L соответствуют главным правым идеалам регулярного кольца фон Неймана . Более точно , если решетка имеет порядок п то фон Нейман регулярное кольцо может быть принято , чтобы быть п по п матрица кольцо М п ( R ) над другим фоном Нейман регулярного кольцом R . Здесь дополненная модульная решетка имеет порядок n, если она имеет однородный базис из n элементов, где базой является n элементов a 1 , ..., a n таких, что a i ∧ a j = 0, если i ≠ j , и a 1 ∨ ... ∨ a n = 1 , и основа называется однородной, если любые два элемента перспективны. Порядок решетки не обязательно должен быть уникальным; например, любая решетка имеет порядок 1. Условие того, что решетка имеет порядок не менее 4, соответствует условию того, что размерность не менее 3 в теореме Веблена – Юнга, поскольку проективное пространство имеет размерность не менее 3 тогда и только тогда, когда он имеет набор как минимум из 4 независимых точек.
Наоборот, главные правые идеалы регулярного кольца фон Неймана образуют дополненную модулярную решетку ( Neumann 1998 , часть II теорема 2.4).
Предположим, что R - регулярное кольцо фон Неймана, а L - его решетка главных правых идеалов, так что L - модулярная решетка с дополнениями. Нейман показал, что L является непрерывной геометрией тогда и только тогда, когда R - неприводимое кольцо полного ранга .
Рекомендации
- Биркгоф, Гаррет (1979) [1940], теория решеток, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 25 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1025-5, Руководство по ремонту 0598630
- Фофанова, Т.С. (2001) [1994], "Ортомодулярная решетка" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Гальперин, Израиль (1960), "Введение в алгебры фон Неймана и непрерывной геометрии", Канадский математический вестник , 3 (3): 273-288, DOI : 10,4153 / КМФ-1960-034-5 , ISSN 0008-4395 , МР 0123923
- Гальперин, Израиль (1985), "Книга в обзоре: Обзор книг Джона фон Неймана на непрерывной геометрии", Order , 1 (3): 301-305, DOI : 10.1007 / BF00383607 , ISSN 0167-8094 , MR 1554221 , S2CID 122594481
- Капланский, Ирвинг (1955), "Любой orthocomplemented полная модульная решетка является непрерывной геометрией", Анналы математики , второй серии 61 (3): 524-541, DOI : 10,2307 / 1969811 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969811 , М.Р. 0088476
- Нейман Джон фон (1936), "Непрерывная геометрия", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 22 (2): 92-100, DOI : 10.1073 / pnas.22.2.92 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 86390 , PMC 1076712 , PMID 16588062 , Zbl 0014.22307
- Нойман, Джон фон (1936b), "Примеры непрерывной геометрии", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 22 (2): 101-108, DOI : 10.1073 / pnas.22.2.101 , СУЛ 62.0648.03 , JSTOR 86391 , ПМК 1076713 , PMID 16588050
- Нойман, Джон фон (1998) [1960], Непрерывная геометрия , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05893-1, MR 0120174
- Нойман, Джон фон (1962), Тауб, AH (ред.), Собрание сочинений. Vol. IV: Непрерывная геометрия и другие темы , Oxford: Pergamon Press, MR 0157874
- Нойман, Джон фон (1981) [1937], Гальперин, Израиль (ред.), «Непрерывные геометрии с вероятностью перехода» , Мемуары Американского математического общества , 34 (252), ISBN 978-0-8218-2252-4, ISSN 0065-9266 , MR 0634656
- Скорняков, Л.А. (1964), Дополненные модульные решетки и регулярные кольца , Лондон: Оливер и Бойд, MR 0166126