В математике , выпуклые метрические пространства являются, интуитивно, метрическими пространствами со свойством любого «сегмент» , соединяющие две точки в этом пространстве есть и другие точки в нем , кроме конечных точек.
Формально, рассмотрим метрическое пространство ( X , d ) , и пусть х и у две точки в X . Точка z в X называется находящейся между x и y, если все три точки различны, и
то есть неравенство треугольника превращается в равенство. Выпуклое метрическое пространство является метрическим пространством ( X , d ) такое , что для любых двух различных точек х и у в X , существует точка третий г в X , лежащей между х и у .
Метрическая выпуклость:
- не влечет выпуклости в обычном смысле для подмножеств евклидова пространства (см. пример рациональных чисел)
- и не подразумевает линейной связности (см. пример рациональных чисел)
- это также не означает геодезической выпуклости для римановых многообразий (рассмотрим, например, евклидову плоскость с удаленным замкнутым кругом).
Примеры
- Евклидовы пространства, то есть обычное трехмерное пространство и его аналоги для других измерений, являются выпуклыми метрическими пространствами. Учитывая любые две различные точки а также в таком пространстве множество всех точек удовлетворяющий вышеуказанному "равенству треугольника" образует отрезок линии между а также у которого всегда есть другие точки, кроме а также на самом деле, у него есть континуум точек.
- Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве является выпуклым метрическим пространством с индуцированной евклидовой нормой. Для замкнутых множеств обратного также верно: если замкнутое подмножество евклидова пространства вместе с индуцированным расстоянием является выпуклым метрическим пространством, то есть выпуклое множество (это является частным случаем более общего утверждения , которые будут обсуждаться ниже) .
- Круг является выпуклым метрическим пространством, если расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшей на окружности , соединяющей их.
Метрические сегменты
Позволять - метрическое пространство (не обязательно выпуклое). Подмножество из называется метрическим сегментом между двумя различными точками а также в если существует закрытый интервал на реальной прямой и изометрии
такой, что а также
Понятно, что любая точка такого метрического отрезка кроме "конечных точек" а также между а также Таким образом, если метрическое пространство допускает метрические сегменты между любыми двумя различными точками в пространстве, то это выпуклое метрическое пространство.
Обратное не верно, в общем. Эти рациональные числа образуют выпуклое метрическое пространство с обычным расстоянием, пока не существует отрезка , соединяющие две рациональных чисел , которые составляют только рациональных чисел. Если, однако,является выпуклым метрическим пространством, и, кроме того, оно полно , можно доказать, что для любых двух точек в их соединяет метрический сегмент (который не обязательно уникален).
Выпуклые метрические пространства и выпуклые множества
Как упоминалось в разделе примеров, замкнутые подмножества евклидовых пространств являются выпуклыми метрическими пространствами тогда и только тогда, когда они являются выпуклыми множествами. Тогда естественно думать о выпуклых метрических пространствах как о обобщении понятия выпуклости за пределы евклидовых пространств с заменой обычных линейных сегментов метрическими сегментами.
Однако важно отметить, что определенная таким образом метрическая выпуклость не обладает одним из наиболее важных свойств выпуклых евклидовых множеств, а именно, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым. В самом деле, как упоминалось в разделе примеров, круг с расстоянием между двумя точками, измеренным по кратчайшей, соединяющей их, является ( полным ) выпуклым метрическим пространством. Но если а также - две точки на окружности, диаметрально противоположные друг другу, их соединяют два метрических сегмента (две дуги, на которые эти точки разделяют окружность), и эти две дуги метрически выпуклые, но их пересечение - это множество которая не является метрически выпуклой.
Смотрите также
Рекомендации
- Khamsi, Mohamed A .; Кирк, Уильям А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки . Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.
- Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.