Согласованная мера риска

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Август 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области актуарной науки и финансовой экономики существует ряд способов определения риска; Чтобы прояснить концепцию, теоретики описали ряд свойств, которыми мера риска может обладать, а может и не иметь. Мера когерентного риска является функцией , которая удовлетворяет свойства монотонности , к югу от аддитивности , однородности и трансляционной инвариантности .${\ displaystyle \ varrho}$

Свойства [ править ]

Рассмотрим случайный результат, рассматриваемый как элемент линейного пространства измеримых функций, определенных на соответствующем вероятностном пространстве. Функционал → называется когерентной мерой риска , если он удовлетворяет следующие свойства: ^[1]${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varrho :{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Нормализованный [ править ]

${\displaystyle \varrho (0)=0}$

То есть риск при отсутствии активов равен нулю.

Монотонность [ править ]

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2}\;\mathrm {a.s.} ,\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1})\geq \varrho (Z_{2})}$

То есть, если портфель всегда имеет лучшие показатели , чем портфель под почти во всех сценариях , то риск должен быть меньше , чем риск . ^[2] Например, If - это опцион колл в деньгах (или иначе) на акции, а также опцион колл в деньгах с более низкой ценой исполнения. В управлении финансовыми рисками монотонность подразумевает, что портфель с большей будущей доходностью имеет меньший риск.${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$

Субаддитивность [ править ]

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varrho (Z_{1})+\varrho (Z_{2})}$

Действительно, риск двух портфелей вместе не может быть хуже, чем сложение этих двух рисков по отдельности: это принцип диверсификации . В управлении финансовыми рисками субаддитивность подразумевает, что диверсификация выгодна. Принцип субаддитивности иногда также рассматривается как проблемный. ^{[3] [4]}

Положительная однородность [ править ]

${\displaystyle \mathrm {If} \;\alpha \geq 0\;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (\alpha Z)=\alpha \varrho (Z)}$

Грубо говоря, если вы удвоите свой портфель, вы удвоите свой риск. В управлении финансовыми рисками положительная однородность подразумевает, что риск позиции пропорционален ее размеру.

Инвариантность перевода [ править ]

Если - детерминированный портфель с гарантированной доходностью, а затем${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Z\in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \varrho (Z+A)=\varrho (Z)-a}$

Портфель просто добавляет деньги в ваш портфель . В частности, если то . В управлении финансовыми рисками инвариантность перевода означает, что добавление определенной суммы капитала снижает риск на ту же величину.${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle a=\varrho (Z)}$${\displaystyle \varrho (Z+A)=0}$

Меры риска выпуклости [ править ]

Впоследствии понятие согласованности было ослаблено. Действительно, понятия субаддитивности и положительной однородности можно заменить понятием выпуклости : ^[5]

Выпуклость

${\displaystyle {\text{If }}Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}{\text{ and }}\lambda \in [0,1]{\text{ then }}\varrho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varrho (Z_{2})}$

Примеры меры риска [ править ]

Ценность под угрозой [ править ]

Хорошо известно, что стоимость, подверженная риску , не является согласованной мерой риска, поскольку не учитывает свойство субаддитивности. Непосредственным следствием этого является то, что стоимость, подверженная риску, может препятствовать диверсификации. ^{[1] Однако} подверженная риску стоимость является когерентной при предположении об эллиптически распределенных убытках (например, нормально распределенных ), когда стоимость портфеля является линейной функцией цен активов. Однако в этом случае стоимость, подверженная риску, становится эквивалентной подходу средней дисперсии, когда риск портфеля измеряется дисперсией доходности портфеля.

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для значения, подверженного риску, равна . Невогнутость свидетельствует о несогласованности данной меры риска.${\displaystyle g(x)=\mathbf {1} _{x\geq 1-\alpha }}$${\displaystyle g}$

Иллюстрация

В качестве простого примера, демонстрирующего несогласованность стоимости, подверженной риску, рассмотрим VaR портфеля с доверительной вероятностью 95% в течение следующего года для двух дефолтных облигаций с нулевым купоном, срок погашения которых составляет 1 год, выраженных в нашем исчислении валюта.

Предположим следующее:

• Текущая доходность по двум облигациям составляет 0%.
• Две облигации от разных эмитентов.
• Каждая облигация имеет 4% вероятность дефолта в течение следующего года.
• Событие дефолта по одной из облигаций не зависит от другой.
• При дефолте облигации имеют процент возврата 30%.

В этих условиях 95% VaR для владения любой из облигаций составляет 0, поскольку вероятность дефолта составляет менее 5%. Однако, если у нас был портфель, состоящий из 50% каждой облигации по стоимости, тогда 95% VaR составляет 35% (= 0,5 * 0,7 + 0,5 * 0), поскольку вероятность дефолта по крайней мере одной из облигаций составляет 7,84% (= 1 - 0,96 * 0,96), что превышает 5%. Это нарушает свойство субаддитивности, показывающее, что VaR не является согласованной мерой риска.

Средняя величина риска [ править ]

Средняя стоимость, подверженная риску (иногда называемая ожидаемым дефицитом или условной стоимостью, подверженной риску ), является согласованной мерой риска, даже если она выводится из стоимости, подверженной риску, а это не так. Область может быть расширена для более общих Орлиц-Хартс из более типичных пространств Lp . ^[6]${\displaystyle AVaR}$

Риск энтропийной ценности [ править ]

Энтропийный значение риска является когерентной мерой риска. ^[7]

Значение хвоста в опасности [ править ]

Значение хвоста в опасности (или хвост условного ожидании) является когерентной мерой риска только тогда , когда исходное распределение является непрерывным .

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для хвостового значения, подверженного риску, равна . Вогнутость свидетельствует о согласованности этой меры риска в случае непрерывного распределения.${\displaystyle g(x)=\min({\frac {x}{\alpha }},1)}$${\displaystyle g}$

Измерение риска пропорциональной опасности (PH) [ править ]

Мера риска PH (или мера пропорционального риска опасности) преобразует уровни опасности с помощью коэффициента .${\displaystyle \scriptstyle \left(\lambda (t)={\frac {f(t)}{{\bar {F}}(t)}}\right)}$${\displaystyle \xi }$

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для меры риска PH равна . Вогнутость if доказывает согласованность этой меры риска.${\displaystyle g_{\alpha }(x)=x^{\xi }}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \scriptstyle \xi <{\frac {1}{2}}}$

g-энтропийные меры риска [ править ]

g-энтропийные меры риска - это класс теоретико-информационных согласованных мер риска, которые включают некоторые важные случаи, такие как CVaR и EVaR. ^[7]

Мера риска Ванга [ править ]

Мера риска Ванга определяется следующей функцией преобразования Ванга (функцией искажения) . Согласованность этой меры риска является следствием вогнутости .${\displaystyle g_{\alpha }(x)=\Phi \left[\Phi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]}$${\displaystyle g}$

Мера энтропийного риска [ править ]

Энтропийной мерой риска является выпуклым мерой риска , которая не является когерентным. Это связано с экспоненциальной полезностью .

Цена суперхеджирования [ править ]

Цена суперхеджирования - это согласованная мера риска.

Установленное значение [ править ]

В ситуации с портфелями с оценкой стоимости, когда риск может быть измерен по активам, набор портфелей является правильным способом изобразить риск. Установленные меры риска полезны для рынков с транзакционными издержками . ^[8]${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle n\leq d}$

Свойства [ править ]

Установленная согласованная мера риска - это функция , где и где - конус постоянной платежеспособности, а - набор портфелей эталонных активов. должны обладать следующими свойствами: ^[9]${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R}$

Нормализованный

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset }$

Переводчик на M

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Монотонный

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

Сублинейный

Общая структура преобразования Ванга [ править ]

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения является возрастающей функцией, где и . ^[10] Эта функция называется функцией искажения или функцией преобразования Ванга.${\displaystyle g\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle g(0)=0}$${\displaystyle g(1)=1}$

Функция двойного искажения есть . ^{[11] [12]} Если задано вероятностное пространство , то для любой случайной величины и любой функции искажения мы можем определить новую вероятностную меру , так что для любой из них следует, что ^[11]${\displaystyle {\tilde {g}}(x)=1-g(1-x)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (X\in A)).}$

Принцип актуарной премии

Для любой возрастающей функции преобразования вогнутой формы Ванга мы могли бы определить соответствующий принцип премии: ^[10]${\displaystyle \varrho (X)=\int _{0}^{+\infty }g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx}$

Согласованная мера риска

Согласованная мера риска может быть определена преобразованием Ванга кумулятивной функции распределения тогда и только тогда, когда она является вогнутой. ^[10]${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

Многозначная выпуклая мера риска [ править ]

Если вместо сублинейного свойства R является выпуклым, то R - многозначная выпуклая мера риска.

Двойное представление [ править ]

Полунепрерывная снизу мера риски выпуклой может быть представлена в виде${\displaystyle \varrho }$

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}(P)}\{E^{Q}[-X]-\alpha (Q)\}}$

такое, что является штрафной функцией и представляет собой набор вероятностных мер, абсолютно непрерывных относительно P ( вероятностная мера «реального мира» ), т . е . Двойственная характеристика связана с пространствами , сердцами Орлица и их двойственными пространствами. ^[6]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)=\{Q\ll P\}}$${\displaystyle L^{p}}$

Более низкая полунепрерывная мера риска является когерентной тогда и только тогда, когда ее можно представить как

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X]}$

такой что . ^[13]${\displaystyle {\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {M}}(P)}$

См. Также [ править ]

• Метрика риска - абстрактное понятие, которое количественно оценивает мера риска.
• RiskMetrics - модель управления рисками
• Спектральная мера риска - подмножество согласованных мер риска
• Мера риска искажения
• Условная стоимость, подверженная риску
• Энтропийная ценность под угрозой
• Финансовый риск

Ссылки [ править ]