В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Конвея представляют собой три спорадические простые группы Co 1 , Co 2 и Co 3 вместе с соответствующей конечной группой Co 0 , введенной ( Conway 1968 , 1969 ).
Самая большая из групп Конвея, Co 0 , является группой автоморфизмов решетки Лича Λ относительно сложения и скалярного произведения . порядок _
определяется как частное Co 0 по его центру , состоящему из скалярных матриц ±1. Группы Co 2 порядка
состоят из автоморфизмов Λ, фиксирующих вектор решетки типа 2 и типа 3 соответственно. Поскольку скаляр −1 не фиксирует ненулевой вектор, эти две группы изоморфны подгруппам Co 1 .
Внутренний продукт на решетке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух векторов множимых; это целое число. Квадратная норма вектора — это его внутреннее произведение на самого себя, всегда четное целое число. Обычно говорят о типе вектора решетки Лича: половина квадратной нормы. Подгруппы часто называют в соответствии с типами соответствующих фиксированных точек. В этой решетке нет векторов типа 1.
Томас Томпсон ( 1983 ) рассказывает, как примерно в 1964 году Джон Лич исследовал плотные упаковки сфер в евклидовых пространствах большой размерности. Одним из открытий Лича была решетчатая упаковка в 24-пространстве, основанная на том, что стало называться решеткой Лича Λ. Ему было интересно, содержит ли группа симметрии его решетки интересную простую группу, но он чувствовал, что ему нужна помощь кого-то, кто лучше знаком с теорией групп. Ему приходилось много расспрашивать, потому что математики были заняты своими собственными планами. Джон Конвей согласился рассмотреть проблему. Джон Г. Томпсонсказал, что ему было бы интересно, если бы ему дали заказ группы. Конвей рассчитывал потратить месяцы или годы на решение проблемы, но добился результатов всего за несколько сеансов.