В математике комплекс Кокстера , названный в честь HSM Coxeter , представляет собой геометрическую структуру ( симплициальный комплекс ), связанную с группой Кокстера . Комплексы Coxeter - это основные объекты, позволяющие возводить здания ; они образуют квартиры дома.
Строительство
Каноническое линейное представление
Первый ингредиент в строительстве комплекса Косетер связан с группой Кокстера W определенное представление о W , называется каноническим представлением W .
Позволять - система Кокстера, связанная с W , с матрицей Кокстера . Каноническое представление задается векторным пространством V с базой формальных символов, который наделен симметричной билинейной формой . Тогда действие W на этом векторном пространстве V определяется выражением, поскольку мотивировано выражением для отражений в корневых системах .
Это представление имеет несколько фундаментальных свойств в теории групп Кокстера; например, билинейная форма B положительно определена тогда и только тогда, когда W конечно. Это (всегда) а точное представление о W .
Камеры и конус Титца
Можно думать об этом представлении как о выражении W как о некой группе отражений с оговоркой, что B может не быть положительно определенным. Тогда становится важным отличать представление V от двойственного ему V * . Векторылежат в V и имеют соответствующие двойственные векторыв V * , определяемое по формуле:
где угловые скобки указывают естественное спаривание двойственного вектора в V * с вектором V , а B - билинейная форма, как указано выше.
Теперь W действует на V * , и действие удовлетворяет формуле
для и любое f из V * . Это выражает s как отражение в гиперплоскости. У одного есть основная камера, это имеет лица так называемые стены, . Остальные камеры можно получить из переводом: они для .
Учитывая фундаментальную камеру , конус Титса определяется как. Это не обязательно должен быть весь V * . Важнейшее значение имеет тот факт, что конус Титса X выпуклый. Действие W на конус Титса X имеет фундаментальную область - фундаментальную камеру.
Комплекс Кокстера
После определения конуса Титса X комплекс Кокстераиз W по отношению к S может быть определен как частное от деления X , с началом удалены, с помощью положительных чисел (ℝ + , ×):
- .
Примеры
Конечные диэдральные группы
В двугранные группы (порядка 2 n ) - группы Кокстера соответствующего типа. У них есть презентация.
Каноническое линейное представление является обычным отражением группы диэдра, действующей на n -угольник на плоскости (так чтов таком случае). Например, в случае n = 3 мы получаем группу Кокстера типа, действующий на равносторонний треугольник на плоскости. Каждое отражение s имеет связанную гиперплоскость H s в двойном векторном пространстве (которое может быть канонически идентифицировано с самим векторным пространством с помощью билинейной формы B , которая в данном случае является внутренним продуктом, как отмечалось выше), это стенки. Они вырезают камеры, как показано ниже:
Тогда комплекс Кокстера представляет собой соответствующий 2 n -угольник, как на изображении выше. Это симплициальный комплекс размерности 1, его можно раскрасить по котипу.
Бесконечная диэдральная группа
Другой мотивирующий пример - бесконечная группа диэдра . Это можно рассматривать как группу симметрий реальной прямой, которая сохраняет набор точек с целочисленными координатами; он порождается отражениями в а также . У этой группы есть презентация Кокстера.
В этом случае уже невозможно отождествить V с двойственным пространством V * , поскольку B не является положительно определенным. Тогда лучше работать только с V * , где определены гиперплоскости. Это дает следующую картину:
В этом случае конус Титса - это не вся плоскость, а только верхняя полуплоскость. Выравнивание по положительным действительным числам затем дает еще одну копию реальной линии с отмеченными точками у целых чисел. Это комплекс Кокстера бесконечной диэдральной группы.
Альтернативное строительство комплекса Coxeter
Другое описание сложных применений кокстеровских стандартных классов смежности группы Кокстера W . Стандартный смежный класс - это смежный класс вида, где для некоторого подмножества J из S . Например, а также .
Комплекс Кокстера это тогда набор стандартных классов смежности, упорядоченный обратным включением. Это имеет каноническую структуру симплициального комплекса, как и все посеты, которые удовлетворяют:
- Любые два элемента имеют точную нижнюю границу.
- ЧУМ элементов, меньших или равных любому заданному элементу, изоморфен ч.у.м. подмножеств для некоторого целого n .
Характеристики
Комплекс Кокстера, связанный с имеет размер . Он гомеоморфен-сфера, если W конечно, и стягиваемая, если W бесконечно.
Смотрите также
Рекомендации
- Питер Абраменко и Кеннет С. Браун , Здания, теория и приложения . Спрингер, 2008.