Кросс-спектр

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Апрель 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В анализе временных рядов , то кросс-спектр используют в качестве части частотной области анализа кросса-корреляции или перекрестной ковариации между двумя временными рядами.

Определение [ править ]

Пусть представляет собой пару случайных процессов , которые совместно в широком смысле стационарны с автоковариационной функций и и кросс-ковариационной функцией . Затем кросс-спектр определяется как преобразование Фурье из ^[1]${\ displaystyle (X_ {t}, Y_ {t})}$${\ displaystyle \ gamma _ {xx}}$${\ displaystyle \ gamma _ {yy}}$${\ displaystyle \ gamma _ {xy}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {xy}}$${\ displaystyle \ gamma _ {xy}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {xy} (f) = {\ mathcal {F}} \ {\ gamma _ {xy} \} (f) = \ sum _ {\ tau = - \ infty} ^ {\ infty} \, \ gamma _ {xy} (\ tau) \, e ^ {- 2 \, \ pi \, i \, \ tau \, f},}$

куда

${\ displaystyle \ gamma _ {xy} (\ tau) = \ operatorname {E} [(x_ {t} - \ mu _ {x}) (y_ {t + \ tau} - \ mu _ {y})]}$ .

Перекрестный спектр имеет представления в виде разложения на (i) его действительную часть (ко-спектр) и (ii) его мнимую часть (квадратурный спектр).

${\ Displaystyle \ Гамма _ {ху} (е) = \ Лямбда _ {ху} (е) + я \ пси _ {ху} (е),}$

и (ii) в полярных координатах

${\ displaystyle \ Gamma _ {xy} (f) = A_ {xy} (f) \, e ^ {i \ phi _ {xy} (f)}.}$

Здесь амплитудный спектр определяется выражением${\ displaystyle A_ {xy}}$

${\displaystyle A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}$

а фазовый спектр определяется выражением${\displaystyle \Phi _{xy}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}$

Квадратный спектр когерентности [ править ]

Квадрат спектра когерентности определяется выражением

${\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}$

который выражает амплитудный спектр в безразмерных единицах.

См. Также [ править ]

• Взаимная корреляция
• Спектр мощности
• Масштабированная корреляция

Ссылки [ править ]