В математике кристаллы - это декартовы секции определенных слоистых категорий . Они были введены Александром Гротендиком ( 1966a ), который назвал их кристаллами, потому что в некотором смысле они «жесткие» и «растут». В частности, квазикогерентные кристаллы по кристаллическому узлу аналогичны квазикогерентным модулям по схеме .
Isocrystal представляет собой кристалл с точностью до изогении. Они являются p -адическими аналогами Q l -адических этальных пучков , введенных Гротендиком (1966a) и Бертело и Огусом ( 1983 ) (хотя определение изокристалла появляется только во второй части этой статьи Огуса (1984) ). Сходящиеся изокристаллы - это разновидность изокристаллов, которые лучше работают над несовершенными полями, а сверхконвергентные изокристаллы - еще одна вариация, связанная с теориями сверхконвергентных когомологий.
Дьедоне кристалл представляет собой кристалл с Verschiebung и фробениусовыми карты. F-кристалл представляет собой структуру , в некоторой степени полулинейной алгебры , связанная с кристаллами.
Кристаллы над бесконечно малыми и кристаллическими узлами [ править ]
Инфинитезимальный сайт Inf ( X / S ) имеет в качестве объектов бесконечно малых расширений открытых множеств X . Если X - схема над S, то пучок O X / S определяется как O X / S ( T ) = координатное кольцо T , где мы пишем T как сокращение для объекта U → T из Inf ( X / S ) . Пучки на этом сайте растут в том смысле, что они могут быть расширены от открытых множеств до бесконечно малых расширений открытых множеств.
Кристалл на сайте Inf ( X / S ) является пучком Р из О Й / S модулей, является жестким в следующем смысле:
- для любого отображения f между объектами T , T ′ из Inf ( X / S ) естественное отображение f * F ( T ) в F ( T ′) является изоморфизмом.
Это похоже на определение квазикогерентного пучка модулей в топологии Зарисского.
Пример кристалла пучок О X / S .
Аналогичным образом определяются кристаллы в кристаллическом узле.
Кристаллы в расслоенных категориях [ править ]
В общем, если E - расслоенная категория над F , то кристалл - декартово сечение расслоенной категории. В частном случае, когда F - категория бесконечно малых расширений схемы X, а E - категория квазикогерентных модулей над объектами F , тогда кристаллы этой расслоенной категории аналогичны кристаллам бесконечно малого узла.
Ссылки [ править ]
- Бертло, Пьер (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p> 0 , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068636 , ISBN 978-3-540-06852-5, Руководство по ремонту 0384804
- Бертело, Пьер ; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллической когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9, Руководство по ремонту 0491705
- Шамберт-Луар, Антуан (1998), «Cohomologie cristalline: un Survol» , Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869 , MR 1654786 , архивировано с оригинала на 2011-07-21 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Гротендик, Александр (1966), "О когомологиях де Рама алгебраических многообразий" , Institut des Hautes Études Scientifiques. Публикации Mathématiques , 29 (29): 95-103, DOI : 10.1007 / BF02684807 , ISSN 0073-8301 , МР 0199194 (письмо Атии, 14 октября 1963 г.)
- Гротендик, А. (1966a), Письмо Дж. Тейту (PDF).
- Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии схем де Рама», у Жиро, Жан; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л .; и другие. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (PDF) , Продвинутые исследования чистой математики, 3 , Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, MR 0269663
- Illusie, Luc (1975), "Отчет о кристаллических когомологиях", Алгебраическая геометрия , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 29 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 459–478, MR 0393034
- Иллюзи, Люк (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. № 456 , Lecture Notes in Math., 514 , Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 53–60, MR 0444668 , заархивировано из оригинала 10 февраля 2012 г. , извлечено 24 августа 2016 г.
- Иллюзи, Люк (1994), "Кристаллические когомологии", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 43–70, MR 1265522
- Кедлая, Киран С. (2009), «p-адические когомологии», Абрамович, Дан; Бертрам, А .; Кацарков, Л .; Пандхарипанде, Рахул; Thaddeus., M. (eds.), Алгебраическая геометрия --- Сиэтл 2005. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 80 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 667–684, arXiv : math / 0601507 , Bibcode : 2006math ...... 1507K , ISBN 978-0-8218-4703-9, MR 2483951
