Верхний набор

Диаграмма Хассе из набора мощности множества {1,2,3,4} с верхним набором ↑ {1} цветной зеленый. Белые наборы образуют нижний набор ↓ {2,3,4}.

В математике , верхний набор (также называется вверх замкнутое множество , в расстройстве , или изотонное множество в X ^[1] ) из частично упорядоченного множества ( X , ≤) представляет собой подмножество S ⊆ X со следующим свойством: если х находится в s , и если х в X больше , чем с (то есть , если с ≤ х ), то х находится в s . На словах это означает, что любой элемент x изХ , который является ≥ к некоторому элементу из S обязательно также элемент S . Термин низший набор (также называемый вниз замкнутое множество , вниз набор , уменьшая набор , начальный сегмент , или полуидеальным ) определяется аналогично как подмножество S из X со свойством , что любой элемент х из X , который ≤ некоторым элемент S обязательно также элемент S .

Определение [ править ]

Пусть быть предупорядоченным множество , и пусть An верхний набор , называемые также вверх замкнутую систему , в расстройство , или изотонный набор , в ^[1] из предупорядоченного множества является подмножество таким образом, что , если и если удовлетворяет тогда То есть, удовлетворяет условие:${\ Displaystyle (Х, \ leq)}$${\ Displaystyle U, L \ substeq X.}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (Х, \ leq)}$${\ Displaystyle U \ substeq X}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle и \ leq х,}$${\ Displaystyle х \ в U.}$${\ displaystyle U}$

для всех и всех, если тогда${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle u \ leq x}$${\ Displaystyle х \ в U.}$

Двойное понятие является ниже , множество (также называется вниз замкнутое множество , вниз набор , уменьшая набор , начальный сегмент , или полуидеальным ), который является подмножеством таким образом, что , что если и , если удовлетворяет тогда То есть, удовлетворяет:${\ Displaystyle L \ substeq X}$${\ displaystyle l \ in L}$${\ displaystyle y \ in X}$${\ Displaystyle х \ leq l,}$${\ displaystyle x \ in L.}$${\ displaystyle L}$

для всех и всех, если тогда${\ displaystyle l \ in L}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle х \ leq l}$${\ displaystyle x \ in L.}$

Термины « идеальный порядок» или « идеальный» иногда используются как синонимы для нижнего набора. ^{[2] [3] [4]} Этот выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки, потому что нижний набор решетки не обязательно является подрешеткой. ^[2]

Свойства [ править ]

• Каждый частично упорядоченный набор сам по себе является верхним набором.
• Пересечение и объединение верхних множеств снова верхний набор.
• Дополнение любого верхнего набора является нижним набором, и наоборот.
• Для частично упорядоченного множества ( X , ≤) семейство верхних множеств X, упорядоченных с помощью отношения включения, является полной решеткой , решеткой верхнего множества .
• Для произвольного подмножества Y частично упорядоченного множества X наименьшее верхнее множество, содержащее Y , обозначается стрелкой вверх как ↑ Y (см. Верхнее замыкание и нижнее замыкание ).
  • Двойственно, наименьшее множество , содержащее нижний Y обозначается с помощью стрелки вниз , как ↓ Y .
• Более низкий набор называется главным , если она имеет вид ↓ { х } , где х представляет собой элемент X .
• Каждый нижний набор Y конечного частично упорядоченное множество Х равно наименьшему нижний набор , содержащий все максимальные элементы из Y : Y  = ↓ Max ( Y ) , где Макс ( Y ) обозначает набор , содержащий максимальные элементы Y .
• Направлено ниже , множество называется порядковым идеалом .
• Эти минимальные элементы любого верхнего множества образуют антицепь .
  • Наоборот, любая антицепь A определяет верхнее множество { x : x ≥ y для некоторого y в A }. Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи, это соответствие между антицепями и верхними множествами равно 1-1, но для более общих частичных порядков это неверно.

Верхнее закрытие и нижнее закрытие [ править ]

Принимая во внимание элемент частично упорядоченного множества определим верхнюю крышку или вверх замыкание в обозначаться или определяется по формуле: ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (Х, \ leq),}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x ^ {\ uparrow X},}$ ${\ displaystyle x ^ {\ uparrow},}$${\ displaystyle \ uparrow x,}$

${\displaystyle x^{\uparrow X}=\uparrow x=\left\{u\in X:x\leq u\right\}}$

в то время как нижние запорный или вниз замыкание из х , обозначается или определяются по формуле: ${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },}$${\displaystyle \downarrow x,}$

${\displaystyle x^{\downarrow X}=\downarrow x=\left\{l\in X:l\leq x\right\}.}$

Наборы и являются, соответственно, наименьшими верхними и нижними наборами, содержащимися в качестве элементов. В более общем смысле , дано подмножество определить верхние / вверх закрытия и нижние / нисходящие затворы из A , обозначаемых и соответственно, как ${\displaystyle \uparrow x}$${\displaystyle \downarrow x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A^{\uparrow X}}$${\displaystyle A^{\downarrow X}}$

${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$      и      ${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$

Таким образом, ↑ x = ↑ { x } и ↓ x = ↓ { x }, где верхние и нижние множества этого вида называются главными . Верхняя и нижняя крышки набора являются, соответственно, наименьшим верхним набором и нижним набором, содержащим его.

Верхнее и нижнее замыкания, если рассматривать их как функцию от множества степеней X к самому себе, являются примерами операторов замыкания, поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского . В результате верхнее замыкание набора равно пересечению всех верхних наборов, содержащих его, и аналогично для нижних наборов. В самом деле, это общий феномен операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества - это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих его; оболочка из набора векторов есть пересечение всех подпространств , содержащих его; подгруппа , порожденная подмножеством из в группеявляется пересечением всех содержащих его подгрупп; идеал , порожденный подмножество кольца является пересечением всех идеалов , содержащих его; и так далее.

Можно также говорить о строгом закрытии сверху элемента, определяемого как { y ∈ X  : x < y }, и в более общем смысле о строгом закрытии сверху подмножества, которое определяется как объединение строгих замыканий сверху его элементов, и мы можем сделать аналогичные определения для строгих замыканий снизу. Однако обратите внимание, что эти «замыкания» на самом деле не являются операторами замыкания, поскольку, например, строгое закрытие сверху одноэлементного набора { x } не содержит { x }.${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$

Порядковые номера [ править ]

Порядковый номер , как правило , отождествляется с множеством всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует нижний набор в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены по включению множества.

См. Также [ править ]

• Конечное множество - подмножество U частично упорядоченного множества ( X , ≤), которое содержит для каждого элемента некоторый элемент y такой, что${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\leq y.}$

Ссылки [ править ]

• Бланк, Дж. (2000). «Доменные представления топологических пространств» (PDF) . Теоретическая информатика . 247 (1–2): 229–255. DOI : 10.1016 / s0304-3975 (99) 00045-6 .
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Хоффман, К. Х. (2001), Аксиомы низкого разделения (T 0 ) и (T 1 )
• Дэйви, BA и Пристли, HA (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-78451-4.