В абстрактной алгебре , модуль дуализирующий , также называемый канонический модуль является модулем над коммутативным кольцом , которое аналогично канонического расслоения в виде гладкого многообразия . Он используется в локальной двойственности Гротендика .
Определение [ править ]
Модуль дуализирующего для нётерова кольца R является конечно порожденным модулем М такое , что для любого максимального идеала т , то Р / м векторного пространства внешнап
R( R / m , M ) обращается в нуль, если n ≠ height ( m ), и является одномерным, если n = height ( m ).
Дуализирующий модуль не обязательно должен быть уникальным, поскольку тензорное произведение любого дуализирующего модуля с проективным модулем ранга 1 также является дуализирующим модулем. Однако это единственный способ, при котором дуализирующий модуль не может быть уникальным: для любых двух дуализирующих модулей один изоморфен тензорному произведению другого с проективным модулем ранга 1. В частности, если кольцо локально, дуализирующий модуль единственен с точностью до изоморфизма.
Нетерово кольцо не обязательно имеет дуализирующий модуль. Любое кольцо с дуализирующим модулем должно быть Коэна – Маколея . Наоборот, если кольцо Коэна – Маколея является фактором кольца Горенштейна, то оно имеет дуализирующий модуль. В частности, любое полное локальное кольцо Коэна – Маколея имеет дуализирующий модуль. Для колец без дуализирующего модуля иногда можно использовать дуализирующий комплекс в качестве замены.
Примеры [ править ]
Если R - кольцо Горенштейна, то R, рассматриваемое как модуль над собой, является дуализирующим модулем.
Если R представляет собой артин локальное кольца , то модуль Матлиса из R (инъективная оболочка поля вычетов) является модулем дуализирующего.
Артины локальное кольцо R = K [ х , у ] / ( х 2 , у 2 , х ) имеет уникальный модуль дуализирующего, но она не изоморфна R .
Кольцо Z [ √ –5 ] имеет два неизоморфных дуализирующих модуля, соответствующих двум классам обратимых идеалов.
Локальное кольцо k [ x , y ] / ( y 2 , xy ) не является кольцом Коэна – Маколея, поэтому у него нет дуализирующего модуля.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Бурбаки, Н. (2007), Коммутативный Альгебр. Глава 10 , Éléments de mathématique (на французском языке), Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-34394-3, Руководство по ремонту 2333539
- Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), кольца Коэна-Маколея , Кембриджские исследования в области высшей математики, 39 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, Руководство по ремонту 1251956
