В алгебре , Матлис двойственность является двойственностью между артиновым и нетеровскими модулями над полным нётеровым локальным кольцом . В частном случае, когда локальное кольцо имеет поле [ требуется пояснение ], отображающееся на поле вычетов, оно тесно связано с более ранней работой Фрэнсиса Сауерби Маколея о кольцах многочленов и иногда называется двойственностью Маколея , а общий случай был введен Матлисом ( 1958 ).
Заявление [ править ]
Предположим , что R является нётеровым полное локальное кольцо с полем вычетов к , и выбрать Е быть инъективную оболочку из к (иногда называемый модуль Матлиса ). Двойственный D R ( M ) модуля M определяется как Hom R ( M , E ). Тогда двойственность Матлиса утверждает, что функтор двойственности D R дает антиэквивалентность между категориями артиновой и нётеровой категорий R-модули. В частности, функтор двойственности дает антиэквивалентность категории модулей конечной длины самому себе.
Примеры [ править ]
Предположим, что нётерово полное локальное кольцо R имеет подполе k, которое отображается на подполе конечного индекса своего поля вычетов R / m . Тогда двойственный по Матлису любой R -модуль является просто его двойственным как топологическое векторное пространство над k , если модулю задана его m -адическая топология. В частности, двойственное к R как топологическому векторному пространству над k является модулем Матлиса. Этот случай тесно связан с работой Маколея над градуированными кольцами многочленов и иногда называется двойственностью Маколея.
Если R представляет собой кольцо дискретного нормирования с полем частных K , то модуль Матлиса является К / Р . В частном случае, когда R - кольцо p -адических чисел , двойственный по Матлису конечно-порожденный модуль является двойственным по Понтрягину модулем, рассматриваемым как локально компактная абелева группа .
Если R - локальное кольцо Коэна – Маколея размерности d с дуализирующим модулем Ω, то модуль Матлиса задается группой локальных когомологий Hd
R(Ω). В частности, если R - артиново локальное кольцо, то модуль Матлиса совпадает с дуализирующим модулем.
Объяснение с использованием сопряженных функторов [ править ]
Двойственность Матлиса может быть концептуально объяснена с использованием языка сопряженных функторов и производных категорий : [1] функтор между производными категориями R- и k- модулей, индуцированный рассмотрением k -модуля как R -модуля, допускает правый сопряженный ( производный внутренний Hom )
Этот правый сопряженный отправляет инъективную оболочку, упомянутую выше, в k , который является дуализирующим объектом в . Этот абстрактный факт затем приводит к упомянутой выше эквивалентности.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Пол Балмер , Иво Dell'Ambrogio, и Берен Сандерс.Двойственность Гротендика-Нимана и изоморфизм Виртмюллера , 2015. Пример 7.2.
- Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), кольца Коэна-Маколея , Кембриджские исследования в области высшей математики, 39 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, Руководство по ремонту 1251956
- Матлис, Эбен (1958), «Инъективные модули над нётерановыми кольцами» , Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140 / pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360 , заархивировано с оригинала на 2014 г. -05-03
