Гипотеза Даффина – Шеффера - это гипотеза (теперь теорема) в математике, в частности (метрическое) диофантово приближение, предложенное Р. Дж. Даффином и А. С. Шеффером в 1941 году. [1] В ней говорится, что еслиявляется вещественной функцией, принимающей положительные значения, то почти для всех (относительно меры Лебега ) неравенство
имеет бесконечно много решений в простых целых числах с участием если и только если
где - функция Эйлера .
В 2019 году гипотеза Даффина – Шеффера была доказана Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом . [2] [3]
Прогресс
То, что существование рациональных приближений влечет расходимость ряда, следует из леммы Бореля – Кантелли . [4] Обратное утверждение является сутью гипотезы. [5] На сегодняшний день установлено много частичных результатов гипотезы Даффина – Шеффера. Пол Эрдеш в 1970 году установил, что гипотеза верна, если существует постоянная так что для каждого целого числа у нас есть либо или же . [5] [6] Это было усилено Джеффри Ваалером в 1978 г.. [7] [8] Совсем недавно это было усилено до того, что гипотеза верна всякий раз, когда существует так что сериал
- . Это сделали Хейнс, Поллингтон и Велани. [9]
В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори более слабая. Этот результат опубликован в Annals of Mathematics . [10]
В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили о доказательстве гипотезы. [11] [12] В июле 2020 года доказательство было опубликовано в Annals of Mathematics . [3]
Связанные проблемы
Многомерный аналог этой гипотезы был разрешен Воганом и Поллингтоном в 1990 году [5] [13] [14].
Заметки
- ^ Даффин, RJ; Шеффер, AC (1941). «Проблема Хинчина в метрическом диофантовом приближении». Duke Math. Дж . 8 (2): 243–255. DOI : 10.1215 / S0012-7094-41-00818-9 . JFM 67.0145.03 . Zbl 0025.11002 .
- ^ Koukoulopoulos, D .; Мэйнард, Дж. (2019). «О гипотезе Даффина – Шеффера». arXiv : 1907.04593 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ а б Кукулопулос; Мейнард (2020). «О гипотезе Даффина-Шеффера» . Анналы математики . 192 (1): 251. arXiv : 1907.04593 . DOI : 10.4007 / annals.2020.192.1.5 .
- ^ Харман (2002) стр. 68
- ^ а б в Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 204. ISBN 978-0-8218-0737-8. Zbl 0814.11001 .
- ^ Харман (1998) стр. 27
- ^ "Гипотеза Даффина-Шеффера" (PDF) . Математический факультет Университета штата Огайо . 2010-08-09 . Проверено 19 сентября 2019 .
- ^ Харман (1998) стр. 28 год
- ^ А. Хейнс, А. Поллингтон и С. Велани, Гипотеза Даффина-Шеффера с дополнительным расхождением , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
- ^ Бересневич Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип массового переноса и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики . Вторая серия. 164 (3): 971–992. arXiv : математика / 0412141 . DOI : 10.4007 / анналы.2006.164.971 . ISSN 0003-486X . Zbl 1148.11033 .
- ^ Koukoulopoulos, D .; Мэйнард, Дж. (2019). «О гипотезе Даффина – Шеффера». arXiv : 1907.04593 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Сломан, Лейла (2019). «Новое доказательство решает проблему иррационального числа 80-летней давности» . Scientific American .
- ^ Поллингтон, АД; Vaughan, RC (1990). « K- мерная гипотеза Даффина – Шеффера» . Математика . 37 (2): 190–200. DOI : 10.1112 / s0025579300012900 . ISSN 0025-5793 . Zbl 0715.11036 .
- ^ Харман (2002) стр. 69
Рекомендации
- Харман, Глин (1998). Метрическая теория чисел . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 18 . Оксфорд: Clarendon Press . ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057 .
- Харман, Глин (2002). «Сто лет нормальных чисел». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Н .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Филипп, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел . Натик, Массачусетс: А.К. Питерс. С. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052 .
Внешние ссылки
- Статья в журнале Quanta о гипотезе Даффина-Шеффера.
- Numberphile интервью с Джеймсом Мейнардом о доказательстве.