В теории вероятностей , то Бореля-Кантелли лемма является теорема о последовательностях из событий . В общем, это результат теории меры . Он назван в честь Эмиля Бореля и Франческо Паоло Кантелли , которые сформулировали эту лемму в первые десятилетия 20 века. [1] [2] Родственный результат, иногда называемый второй леммой Бореля – Кантелли , является частичным обратнымпервой леммы Бореля – Кантелли. Лемма утверждает, что при определенных условиях вероятность события равна нулю или единице. Соответственно, это самая известная из класса подобных теорем, известных как законы нуля или единицы. Другие примеры включают в себя нулевой один закон Колмогорова и Хьюитт-Savage нулевой один закон .
Формулировка леммы для вероятностных пространств
Пусть E 1 , E 2 , ... последовательность событий в некотором вероятностном пространстве . Лемма Бореля – Кантелли утверждает: [3]
- Если сумма вероятностей событий { E n } конечна
- то вероятность того, что их будет бесконечно много, равна 0, т. е.
Здесь «lim sup» обозначает верхнюю границу предела последовательности событий, и каждое событие представляет собой набор результатов. То есть lim sup E n - это набор результатов, которые происходят бесконечно много раз в бесконечной последовательности событий ( E n ). Ясно,
Множество lim sup E n иногда обозначают { E n io}, где «io» означает «бесконечно часто». Следовательно, теорема утверждает, что если сумма вероятностей событий E n конечна, то множество всех исходов, которые «повторяются» бесконечно много раз, должно произойти с нулевой вероятностью. Обратите внимание, что никаких предположений о независимости не требуется.
Пример
Предположим, что ( X n ) - это последовательность случайных величин с Pr ( X n = 0) = 1 / n 2 для каждого n . Вероятность того, что X n = 0 возникает для бесконечного числа n , эквивалентна вероятности пересечения бесконечного числа [ X n = 0] событий. Пересечение бесконечного множества таких событий - это совокупность общих для всех них исходов. Однако сумма ΣPr ( Х п = 0) сходится к тг 2 /6 ≈ 1,645 <∞, и поэтому Бореля-Кантелли утверждает , что множество результатов , которые являются общими для бесконечно много таких событий происходит с нулевой вероятностью. Следовательно, вероятность того, что X n = 0 произойдет для бесконечного числа n, равна 0. Почти наверняка (то есть с вероятностью 1) X n ненулевое для всех, кроме конечного числа n .
Доказательство
Пусть ( E n ) - последовательность событий в некотором вероятностном пространстве .
Последовательность событий не увеличивается:
По преемственности свыше,
По субаддитивности
По исходному предположению, Как сериал сходится,
как требуется.
Пространства с общей мерой
Для общих пространств с мерой лемма Бореля – Кантелли принимает следующий вид:
- Пусть μ есть (положительная) мера на множестве X , с а-алгебры F , и пусть ( п ) последовательность в F . Если
- тогда
Обратный результат
Родственный результат, иногда называемый второй леммой Бореля – Кантелли , является частичным обращением первой леммы Бореля – Кантелли. Леммы гласят: Если события Х п являются независимыми , а сумма вероятностей Е п расходится до бесконечности, то вероятность того, что бесконечно многие из них происходят в 1. То есть:
- Если и события независимы, то
Предположение о независимости можно ослабить до попарной независимости , но в этом случае доказательство сложнее.
Пример
Теорема о бесконечной обезьяне о том , что бесконечный набор случайных символов с вероятностью 1 в конечном итоге приведет к созданию каждого конечного текста (например, произведений Шекспира), сводится к утверждению, что (не обязательно честная) монета, подбрасываемая бесконечно часто, в конечном итоге выпадет орлом. . Это частный случай второй леммы.
Лемму можно применить для получения теоремы о покрытии в R n . В частности ( Stein 1993 , лемма X.2.1), если E j - набор измеримых по Лебегу подмножеств компакта в R n таких, что
тогда существует последовательность F j трансляций
такой, что
кроме набора нулевой меры.
Доказательство
Предположим, что и события независимы. Достаточно показать событие , что Е п «s не происходит для бесконечного множества значений п имеет вероятность 0. Это просто сказать , что это достаточно , чтобы показать , что
Отмечая, что:
достаточно показать: . Поскольку независимы:
Это завершает доказательство. В качестве альтернативы мы можем увидеть взяв отрицательный логарифм обеих сторон, мы получим:
Поскольку −log (1 - x ) ≥ x для всех x > 0, результат аналогично следует из нашего предположения, что
Аналог
Другой связанный результат - это так называемый аналог леммы Бореля – Кантелли . Это аналог леммы в том смысле, что он дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы limsup был равен 1, заменяя предположение независимости совершенно другим предположением, чтомонотонно возрастает при достаточно больших индексах. Эта лемма говорит:
Позволять быть таким, чтобы , и разреши обозначают дополнение . Тогда вероятность бесконечного множества произойти (то есть хотя бы один происходит) является единицей тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такой, что
Этот простой результат может быть полезен в таких задачах, как, например, те, которые связаны с вероятностями попадания в случайный процесс с выбором последовательности обычно суть.
Кочен – Стоун
Позволять быть последовательностью событий с а также то есть положительная вероятность того, что происходят бесконечно часто.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Э. Борель, "Возможные варианты и арифметика приложений" Rend. Circ. Мат. Палермо (2) 27 (1909), стр. 247–271.
- ^ Ф.П. Кантелли, "Sulla probabilità come limit della frequencyza", Atti Accad. Наз. Линчеи 26: 1 (1917) стр. 39–45.
- ^ Klenke Ахим (2006). Теория вероятностей . Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ а б «Ромик, Дэн. Заметки к лекции по теории вероятностей, осень 2009 г., Калифорнийский университет в Дэвисе» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 14 июня 2010 года.
- Прохоров, А.В. (2001) [1994], "Лемма Бореля – Кантелли" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Феллер, Уильям (1961), Введение в теорию вероятностей и ее применение , John Wiley & Sons.
- Стейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton University Press.
- Брюсс, Ф. Томас (1980), "Аналог леммы Бореля Кантелли", J. Appl. Вероятно. , 17 : 1094–1101.
- Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Продвинутая серия Даксбери, Третье издание, Томсон Брукс / Коул, 2005.
Внешние ссылки
- Доказательство планетарной математики. Обратитесь к простому доказательству леммы Бореля Кантелли.