Hewitt-Savage нулевой один закон является теорема в теории вероятностей , подобно нулевой один закон Колмогорова и Бореля-Кантелли , что указывает , что определенный тип события , либо почти наверняка произойдет или почти наверняка не произойдет. Иногда его называют законом Сэвиджа-Хьюитта для симметричных событий . Он назван в честь Эдвина Хьюитта и Леонарда Джимми Сэвиджа . [1]
Утверждение закона нуля или единицы Сэвиджа-Хьюитта
Позволять быть последовательность из независимых и одинаково распределенных случайных величин , принимающих значения в наборе. Закон нуля или единицы Хьюитта-Сэвиджа гласит, что любое событие, возникновение или ненаступление которого определяется значениями этих случайных величин, а возникновение или ненаступление которого не изменяется конечными перестановками индексов, имеет вероятность либо 0, либо 1 ( «конечная» перестановка - это такая, которая оставляет фиксированными все, кроме конечного числа индексов).
Несколько более абстрактно, определите заменяемую сигма-алгебру или сигма-алгебру симметричных событий. быть набором событий (в зависимости от последовательности переменных ), которые инвариантны относительно конечных перестановок индексов в последовательности. потом.
Поскольку любую конечную перестановку можно записать как произведение транспозиций , если мы хотим проверить, действительно ли событие симметричен (лежит в ), достаточно проверить, не меняется ли его вхождение произвольной перестановкой , .
Примеры
Пример 1
Пусть последовательность принимать ценности в . Тогда событие, которое сериал сходится (к конечному значению) является симметричным событием в , поскольку его появление не меняется при транспозициях (для конечного переупорядочения сходимость или расхождение ряда - и, действительно, числовое значение самой суммы - не зависит от порядка, в котором мы складываем члены). Таким образом, ряд либо почти наверняка сходится, либо почти наверняка расходится. Если дополнительно предположить, что обычное математическое ожидание (что по сути означает, что из-за неотрицательности случайных величин), можно заключить, что
т.е. ряд почти наверняка расходится. Это особенно простое применение закона нуля или единицы Хьюитта – Сэвиджа. Во многих ситуациях можно легко применить закон нуля – единицы Хьюитта – Сэвиджа, чтобы показать, что какое-то событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление сложно определить, какое из этих двух крайних значений является правильным.
Пример 2
Продолжая предыдущий пример, определите
который является положение на шаге N в виде случайного блуждания с н.о.р. шагом X п . Событие { S N = 0 бесконечно часто} инвариантно относительно конечных перестановок. Следовательно, применим закон нуля или единицы, и можно сделать вывод, что вероятность случайного блуждания с реальными приращениями iid, бесконечно часто посещающих начало координат, равна единице или нулю. Бесконечно часто посещение начала координат является хвостовым событием по отношению к последовательности ( S N ), но S N не являются независимыми, и поэтому закон нуля или единицы Колмогорова здесь не применим напрямую. [2]
Рекомендации
- ^ Хьюитт, Э .; Сэвидж, LJ (1955). «Симметричные меры на декартовых произведениях» . Пер. Амер. Математика. Soc . 80 : 470–501. DOI : 10,1090 / s0002-9947-1955-0076206-8 .
- ^ Этот пример взят из Ширяев, А. (1996). Теория вероятностей (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 381–82.