Разложение Жордана – Шевалле

В математике разложение Жордана – Шевалле , названное в честь Камиллы Жордана и Клода Шевалле , выражает линейный оператор как сумму его коммутирующей полупростой части и его нильпотентной части. Мультипликативное разложение выражает обратимый оператор как произведение его коммутирующих полупростой и унипотентной частей. Разложение легко описать, если дана жорданова нормальная форма оператора, но оно существует при более слабых предположениях, чем существование жордановой нормальной формы. Аналоги разложения Жордана-Шевалле существуют для элементов линейных алгебраических групп , алгебр Ли, и группы Ли , и разложение является важным инструментом в изучении этих объектов.

Разложение линейного оператора [ править ]

Рассмотрим линейные операторы в конечномерном векторном пространстве над полем. Оператор T является полупростым, если каждое T-инвариантное подпространство имеет дополнительное T-инвариантное подпространство (если базовое поле алгебраически замкнуто , это то же самое, что и требование диагонализуемости оператора ). Оператор x является нильпотентным, если некоторая его степень x ^m является нулевым оператором. Оператор х является унипотентна , если х  - 1 нильпотентна.

Теперь пусть x - любой оператор. Разложение Жордана – Шевалле x является выражением его в виде суммы

х = х _s + х _n ,

где x _s полупрост, x _n нильпотентен, а x _s и x _n коммутируют. Более совершенное поле , ^[1] такое разложение существует (ср #Proof единственности и существования ), разложение является уникальным, и х _с и х _п являются полиномы х без каких - либо постоянных условий. ^{[2] [3]} В частности, для любого такого разложения над совершенным полем оператор, коммутирующий с x, также коммутирует с x _s и x_п .

Если x - обратимый оператор, то мультипликативное разложение Жордана – Шевалле выражает x как произведение

х = х _s · х _и ,

где x _s полупрост, x _u унипотентен, а x _s и x _u коммутируют. Опять же, над совершенным полем такое разложение существует, разложение единственное, а x _s и x _u - многочлены от x . Мультипликативный вариант разложения следует из аддитивного, поскольку, как легко видеть, он обратим,${\ displaystyle x_ {s}}$

${\ displaystyle x = x_ {s} + x_ {n} = x_ {s} \ left (1 + x_ {s} ^ {- 1} x_ {n} \ right)}$

и односторонен. (И наоборот, используя аргументы того же типа, можно вывести аддитивную версию из мультипликативной.)${\ displaystyle 1 + x_ {s} ^ {- 1} x_ {n}}$

Если x записан в жордановой нормальной форме (относительно некоторого базиса), то x _s - это эндоморфизм, матрица которого содержит только диагональные члены x , а x _n - эндоморфизм, матрица которого содержит только недиагональные члены; x _u - эндоморфизм, матрица которого получается из жордановой нормальной формы делением всех элементов каждой жордановой клетки на ее диагональный элемент.

Доказательство уникальности и существования [ править ]

Единственность следует из того факта, что они полиномиальны по x : если есть другое разложение такое, что и коммутируют, то , и оба коммутируют с x , следовательно, с . Теперь сумма коммутирующих полупростых (соответственно нильпотентных) эндоморфизмов снова полупроста (соответственно нильпотентна). Поскольку единственным оператором, который является одновременно полупростым и нильпотентным, является нулевой оператор, следует, что и .${\displaystyle x_{s},x_{n}}$${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$${\displaystyle x'_{s}}$${\displaystyle x'_{n}}$${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=x_{n}'-x_{n}}$${\displaystyle x_{s}',x_{n}'}$${\displaystyle x_{s},x_{n}}$${\displaystyle x_{s}=x_{s}'}$${\displaystyle x_{n}=x_{n}'}$

Мы показываем существование. Пусть V - конечномерное векторное пространство над совершенным полем k и эндоморфизмом.${\displaystyle x:V\to V}$

Сначала предположим, что базовое поле k алгебраически замкнуто. Тогда векторное пространство V имеет разложение в прямую сумму где каждый является ядром , то обобщенное подпространством и х стабилизирует , то есть . Теперь определим так, чтобы для каждого было скалярное умножение на . Обратите внимание, что с точки зрения базиса, отвечающего разложению прямой суммы, это диагональная матрица; следовательно, это полупростой эндоморфизм. Так как тогда чья -м мощность равна нулю, то также нильпотентен, устанавливающая существование разложения.${\textstyle V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle (x-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle x\cdot V_{i}\subset V_{i}}$${\displaystyle x_{s}:V\to V}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle x-x_{s}:V_{i}\to V_{i}}$${\displaystyle x-\lambda _{i}I:V_{i}\to V_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle x_{n}:=x-x_{s}}$

(Тщательно выбирая базис для каждого из них , можно затем поместить x в нормальную форму Жордана и получить диагональную и недиагональную части нормальной формы. Но здесь это не требуется.)${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle x_{s},x_{n}}$

То, что они являются многочленами от x, следует из китайской теоремы об остатках . Действительно, пусть будет характеристический многочлен от х . Тогда это произведение характеристических многочленов от ; т.е. также (потому что, как правило, нильпотентная матрица уничтожается при увеличении до размера матрицы). Теперь китайская теорема об остатках, примененная к кольцу многочленов, дает многочлен, удовлетворяющий условиям${\displaystyle x_{s},x_{n}}$${\displaystyle f(t)=\operatorname {det} (tI-x)}$${\displaystyle x:V_{i}\to V_{i}}$${\textstyle f(t)=\prod _{i=1}^{r}(t-\lambda _{i})^{d_{i}},d_{i}=\dim V_{i}.}$${\displaystyle d_{i}\geq m_{i}}$${\displaystyle k[t]}$${\displaystyle p(t)}$

${\displaystyle p(t)\equiv 0{\bmod {t}},\,p(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod {(}}t-\lambda _{i})^{d_{i}}}$ (для всех i).

(Есть избыточность в условиях, если некоторые из них равны нулю, но это не проблема; просто удалите это из условий.)${\displaystyle \lambda _{i}}$

Условие , если оно прописано, означает, что для некоторого полинома . Так как это нулевая карта , и договоримся по каждому ; то есть . Также тогда с . Условие гарантирует это и не имеет постоянных условий. Это завершает доказательство алгебраически замкнутого полевого случая.${\displaystyle p(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod {(}}t-\lambda _{i})^{d_{i}}}$${\displaystyle p(t)-\lambda _{i}=g_{i}(t)(t-\lambda _{i})^{d_{i}}}$${\displaystyle g_{i}(t)}$${\displaystyle (x-\lambda _{i}I)^{d_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle p(x)=x_{s}}$${\displaystyle q(x)=x_{n}}$${\displaystyle q(t)=t-p(t)}$${\displaystyle p(t)\equiv 0{\bmod {t}}}$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle q(t)}$

Если k - произвольное совершенное поле, пусть будет абсолютная группа Галуа поля k . По первой части мы можем выбрать многочлены над такими, что есть разложение на полупростую и нильпотентную части. Для каждого дюйма ,${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} \left({\overline {k}}/k\right)}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle x=p(x)+q(x)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle x=\sigma (x)=\sigma (p(x))+\sigma (q(x))=p(x)+q(x).}$

Теперь - многочлен от ; так и есть . Таким образом, и ездят. Кроме того, очевидно , что приложение сохраняет полупростоту и нильпотентность. Таким образом, в силу единственности разложения (по ), и . Следовательно, являются -инвариантным; т.е. они являются эндоморфизмами (представляемыми матрицами) над k . Наконец, поскольку содержит -базис, который охватывает пространство, содержащее , по тем же аргументам, мы также видим, что коэффициенты в k . Это завершает доказательство.${\displaystyle \sigma (p(x))=\sigma (p)(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma (q(x))}$${\displaystyle \sigma (p(x))}$${\displaystyle \sigma (q(x))}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle \sigma (p(x))=p(x)}$${\displaystyle \sigma (q(x))=q(x)}$${\displaystyle x_{s}=p(x),x_{n}=q(x)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle x_{s},x_{n}}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle \square }$

Краткое доказательство с использованием абстрактной алгебры [ править ]

( Jacobson 1979 ) доказывает существование разложения как следствие основной теоремы Веддерберна . (Этот подход не только краток, но и делает роль предположения, что базовое поле будет более четким.)

Пусть V - конечномерное векторное пространство над совершенным полем k , эндоморфизмом и подалгеброй, порожденной x . Отметим, что A - коммутативное артиново кольцо . Основная теорема Веддерберна утверждает: для конечномерной алгебры A с радикалом Джекобсона J , если она сепарабельна, то естественная сюръекция расщепляется; т. е. содержит полупростую подалгебру такую, что является изоморфизмом. ^[4] В данной схеме сепарабелен, поскольку базовое поле совершенно (поэтому теорема применима) и J${\displaystyle x:V\to V}$${\displaystyle A=k[x]\subset \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle A/J}$${\displaystyle p:A\to A/J}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/J}$${\displaystyle A/J}$Также нильрадикал А . Затем существует разложение в векторное пространство . В частности, эндоморфизм x можно записать как где находится in и in . Теперь образ x генерируется ; таким образом , полупрост и является многочленом от x . Кроме того, нильпотентен, поскольку нильпотентен, и является многочленом от x, поскольку есть.${\displaystyle A=B\oplus J}$${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A/J\simeq B}$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle \square }$

Критерий нильпотентности [ править ]

Разложение Жордана можно использовать для характеристики нильпотентности эндоморфизма. Пусть k - алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, кольцо эндоморфизмов k над рациональными числами и V - конечномерное векторное пространство над k . Учитывая эндоморфизм , пусть разложение Жордана. Тогда диагонализируется; т.е. где каждый - собственное подпространство для собственного значения с кратностью . Тогда для любого пусть будет эндоморфизм такой, что умножение на . Шевалье вызывает на реплику из дается${\displaystyle E=\operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(k)}$${\displaystyle x:V\to V}$${\displaystyle x=s+n}$${\displaystyle s}$${\textstyle V=\bigoplus V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \varphi \in E}$${\displaystyle \varphi (s):V\to V}$${\displaystyle \varphi (s):V_{i}\to V_{i}}$${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$${\displaystyle \varphi (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \varphi }$. (Например, если , то комплексное сопряжение эндоморфизма является примером реплики.) Теперь,${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Доказательство: во- первых, поскольку нильпотентен,${\displaystyle n\varphi (s)}$

${\displaystyle 0=\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(s\varphi (s)|V_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\lambda _{i}\varphi (\lambda _{i})}$.

Если - комплексное сопряжение, это означает, что для каждого i . В противном случае примем за -линейный функционал, за которым следует . Применяя это к приведенному выше уравнению, получаем:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda _{i}=0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \varphi :k\to \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \hookrightarrow k}$

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\varphi (\lambda _{i})^{2}=0}$

и, поскольку все являются действительными числами, для каждого i . Тогда изменение линейных функционалов влечет для каждого i .${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=0}$${\displaystyle \lambda _{i}=0}$${\displaystyle \square }$

Типичным применением указанного выше критерия является доказательство критерия Картана разрешимости алгебры Ли. Он говорит: если есть подалгебра Ли над полем k характеристики нуль, такая, что для каждого , то разрешима.${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Доказательство: ^[6] Без ограничения общности предположим, что k алгебраически замкнуто. По теореме Ли и теоремы Энгеля , достаточно показать для каждого , является нильпотентным эндоморфизмом V . Напишите . Затем нам нужно показать:${\displaystyle x\in D{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x}$${\textstyle x=\sum _{i}[x_{i},y_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} ([x_{i},y_{i}]\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} (x_{i}[y_{i},\varphi (s)])}$

равно нулю. Пусть . Заметим, что у нас есть: и, поскольку является полупростой частью разложения Жордана , следует, что это многочлен без постоянного члена в ; следовательно, и то же самое верно с вместо . То есть, что подразумевает утверждение с учетом предположения.${\displaystyle {\mathfrak {g}}'={\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \varphi (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle [\varphi (s),{\mathfrak {g}}]\subset D{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \square }$

Контрпример к существованию над несовершенным полем [ править ]

Если основное поле не является совершенным , разложения Жордана – Шевалле может не существовать. Пример: пусть p будет простым числом, пусть будет несовершенным по характеристикам , и выберите в нем не- ю степень. Позвольте , пусть и пусть будет -линейный оператор, полученный умножением на in . Это имеет в качестве своих инвариантно- линейных подпространств в точности идеалы рассматриваемого как кольца, которые соответствуют идеалам содержания . Поскольку неприводимо в , идеалы V суть , и . Предположим для поездки на работу${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2}}$${\displaystyle x={\overline {X}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[X]}$${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$${\displaystyle X^{p}-a}$${\displaystyle k[X]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle J=\left(x^{p}-a\right)V}$${\displaystyle T=S+N}$${\displaystyle k}$-линейные операторы и, которые являются соответственно полупростыми (чуть более , чем полупростота над алгебраическим замыканием ) и нильпотентными. Поскольку и коммутируют, каждый из них коммутирует с и, следовательно, действует -линейно на . Следовательно, и даются умножением на соответствующие члены и , с . Поскольку нильпотентен, он нильпотентен в , поэтому in , for является полем. Следовательно, следовательно, для некоторого полинома . Также мы это видим . Поскольку характерно , имеем${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T=S+N}$${\displaystyle k[x]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s=S(1)}$${\displaystyle n=N(1)}$${\displaystyle s+n=T(1)=x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {n}}=0}$${\displaystyle V/J}$${\displaystyle V/J}$${\displaystyle n\in J}$${\displaystyle n=\left(x^{p}-a\right)h(x)}$${\displaystyle h(X)\in k[X]}$${\displaystyle n^{2}=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{p}=s^{p}+n^{p}=s^{p}}$. Кроме того, поскольку in , у нас , следовательно, in . Поскольку у нас есть . Объединяя эти результаты, мы получаем . Это показывает, что порождает как -алгебру и, следовательно, -стабильные -линейные подпространства в являются идеалами , т.е. они являются , и . Мы видим, что это -инвариантное подпространство, в котором нет дополнительного -инвариантного подпространства, вопреки предположению, что оно является полупростым. Таким образом, не существует разложения в сумму коммутирующих -линейных операторов, полупростых и нильпотентных соответственно. Отметим, что минимальный многочлен от${\displaystyle {\overline {x}}={\overline {s}}}$${\displaystyle A/J}$${\displaystyle h\left({\overline {s}}\right)=h\left({\overline {x}}\right)}$${\displaystyle h(s)-h(x)\in J}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \left(x^{p}-a\right)J=0}$${\displaystyle \left(x^{p}-a\right)h(x)=\left(x^{p}-a\right)h(s)}$${\displaystyle x=s+n=s+\left(s^{p}-a\right)h(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle J}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$неотделима сверху и является квадратом внутри . Можно показать, что если минимальный многочлен линейного оператора отделим, то имеет разложение Жордана-Шевалле и что если этот многочлен является произведением различных неприводимых многочленов от , то полупрост над .${\displaystyle k}$${\displaystyle k[X]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k[X]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$

Аналогичные разложения [ править ]

Мультипликативная версия разложения Жордана-Шевалле обобщается до разложения в линейной алгебраической группе, а аддитивная версия разложения обобщается до разложения в алгебре Ли.

Алгебры Ли [ править ]

Обозначим через алгебру Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над совершенным полем. Если - разложение Жордана, то - разложение Жордана на векторном пространстве . Действительно, сначала, а ездят с тех пор . Во-вторых, в общем случае для каждого эндоморфизма мы имеем:${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$${\displaystyle [\operatorname {ad} (x_{s}),\operatorname {ad} (x_{n})]=\operatorname {ad} ([x_{s},x_{n}])=0}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {gl}}(V)}$

1. Если , то , поскольку - это разность левого и правого умножения на y .${\displaystyle y^{m}=0}$${\displaystyle \operatorname {ad} (y)^{2m-1}=0}$${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$
2. Если полупросто, то полупросто. ^[7]${\displaystyle y}$${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$

Следовательно, в силу уникальности, и .${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})}$

Если - конечномерное представление полупростой конечномерной комплексной алгебры Ли, то сохраняет разложение Жордана в смысле: если , то и . ^[8]${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$${\displaystyle \pi (x_{s})=\pi (x)_{s}}$${\displaystyle \pi (x_{n})=\pi (x)_{n}}$

Вещественные полупростые алгебры Ли [ править ]

В формулировке Шевалле и Мостоу аддитивное разложение утверждает, что элемент X в вещественной полупростой алгебре Ли g с разложением Ивасавы g = k ⊕ a ⊕ n может быть записан как сумма трех коммутирующих элементов алгебры Ли X = S + D + N , где S , D и N сопряжены с элементами из k , a и nсоответственно. В общем случае члены разложения Ивасавы не коммутируют.

Линейные алгебраические группы [ править ]

Пусть - линейная алгебраическая группа над совершенным полем. Тогда, по существу, по определению, существует замкнутое вложение . Теперь к каждому элементу , согласно мультипликативному разложению Жордана, существует пара из полупростого элемента и унипотентного элемента a priori в таком, что . Но, как оказывается, ^[9] элементы могут быть показаны как находящиеся внутри (т. Е. Они удовлетворяют определяющим уравнениям группы G ) и что они не зависят от вложения в ; т.е. разложение внутреннее.${\displaystyle G}$${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle g_{u}}$ ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$${\displaystyle g_{s},g_{u}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$

Когда G абелева, тогда это прямое произведение замкнутой подгруппы полупростых элементов в G и подгруппы унипотентных элементов. ^[10]${\displaystyle G}$

Вещественные полупростые группы Ли [ править ]

Мультипликативное разложение утверждает, что если g является элементом соответствующей связной полупростой группы Ли G с соответствующим разложением Ивасавы G = KAN , то g можно записать как произведение трех коммутирующих элементов g = sdu с s , d и u, сопряженными с элементами из K , A и N соответственно. В общем случае члены разложения Ивасавы g = kan не коммутируют.

Ссылки [ править ]

• Шевалле, Клод (1951), Теория групп Ли. Том II. Groupes algébriques , Герман, OCLC  277477632
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .
• Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), линейные алгебраические группы , выпускные тексты по математике, 21 , Springer, ISBN 0-387-90108-6
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Springer, ISBN 978-0-387-90053-7
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962], алгебры Ли , Dover, ISBN 0-486-63832-4
• Lazard, M. (1954), «Теория повторений. Critère de Cartan (Exposé No. 6)» , Séminaire «Sophus Lie» , 1 , архивировано с оригинала 04.07.2013.
• Мостов, GD (1954), "Факторные пространства разрешимых групп", Ann. математики. , 60 (1): 1-27, DOI : 10,2307 / 1969700 , JSTOR  1969700
• Мостоу, GD (1973), Сильная жесткость локально симметричных пространств , Annals of Mathematics Studies, 78 , Princeton University Press, ISBN 0-691-08136-0
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Серр, Жан-Пьер (1992), алгебры Ли и группы Ли: лекции 1964 года, прочитанные в Гарвардском университете , конспекты лекций по математике, 1500 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55008-2
• Варадараджан, VS (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Тексты для выпускников по математике, 102 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90969-9
• Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для выпускников по математике, 66 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, Руководство по ремонту  0547117