Динамическое масштабирование

Динамическое масштабирование (иногда известное как масштабирование Фамили-Вичека ^{[1] [2]} ) - это лакмусовая бумажка, которая показывает, демонстрирует ли развивающаяся система самоподобие . Обычно говорят, что функция демонстрирует динамическое масштабирование, если она удовлетворяет:

${\ displaystyle f (x, t) \ sim t ^ {\ theta} \ varphi \ left ({\ frac {x} {t ^ {z}}} \ right).}$

Здесь показатель степени фиксируется требованием размера . Числовое значение должно оставаться неизменным, несмотря на то, что единица измерения изменена в какой-то раз, поскольку это безразмерная величина. ${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle [е] = [т ^ {\ тета}]}$${\ displaystyle f / t ^ {\ theta}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi}$

Многие из этих систем развиваются самоподобным образом в том смысле, что данные, полученные из моментального снимка в любой фиксированный момент времени, аналогичны соответствующим данным, взятым из моментального снимка в любой более ранний или более поздний период времени. То есть система похожа на себя в разное время. Лакмусовой бумажкой такого самоподобия является динамическое масштабирование.

История [ править ]

Тамаш Вичек и Семья Ферейдун впервые предложили идею динамического масштабирования в контексте агрегации, ограниченной диффузией ( DLA ) кластеров в двух измерениях. ^[2] Форма их предложения по динамическому масштабированию была:

${\ displaystyle f (x, t) \ sim t ^ {- w} x ^ {- \ tau} \ varphi \ left ({\ frac {x} {t ^ {z}}} \ right).}$

Тест на динамическое масштабирование [ править ]

В таких системах мы можем определить некоторую зависящую от времени стохастическую переменную . Мы заинтересованы в том, вычисляя распределение вероятностей в различные моменты времени , т.е. . Числовое значение и типичное или среднее значение обычно изменяется со временем. Возникает вопрос: что происходит с соответствующими безразмерными переменными? Если числовые значения размерных величин изменяются, но соответствующие безразмерные величины остаются неизменными, то мы можем утверждать, что снимки системы в разное время похожи. Когда это происходит, мы говорим, что система самоподобна. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle f (х, т)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Одним из способов проверки динамического масштабирования является построение безразмерных переменных как функции данных, извлеченных в разное время. Тогда, если все графики vs, полученные в разное время, коллапсируют на единую универсальную кривую, то говорят, что системы в разное время подобны и подчиняются динамическому масштабированию. Идея коллапса данных уходит корнями в теорему Букингема Пи . ^[3] По сути, такие системы можно назвать временным самоподобием, поскольку одна и та же система подобна в разное время.${\ displaystyle f / t ^ {\ theta}}$${\ Displaystyle х / т ^ {z}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Примеры [ править ]

Многие явления, изучаемые физиками, не статичны, а развиваются вероятностно со временем (то есть случайный процесс ). Сама вселенная, пожалуй, один из лучших примеров. Он расширяется с момента Большого взрыва . Точно так же рост сетей, таких как Интернет , также является постоянно растущими системами. Другой пример - деградация полимера ^[4], когда деградация происходит не в мгновение ока, а в течение довольно длительного времени. Распространение биологических и компьютерных вирусов тоже не происходит в одночасье.

Многие другие, казалось бы, разрозненные системы, демонстрирующие динамическое масштабирование. Например:

• кинетика агрегации, описываемая уравнением коагуляции Смолуховского , ^{[5] [6] [7] [8] [9]}
• сложные сети, описываемые моделью Барабаши – Альберта , ^[10]
• кинетическое и стохастическое множество Кантора , ^[11]
• модель роста в Кардар-Паризи-Zhang (КПЗ) класс универсальности; обнаруживается, что ширина поверхности демонстрирует динамическое масштабирование. ^{[12] [13]}${\ Displaystyle W (L, t)}$
• распределение площадей блоков взвешенной планарной стохастической решетки (WPSL) также демонстрирует динамическое масштабирование. ^{[ необходима цитата ]}

Ссылки [ править ]